Готовый перевод Richard Dawkins The Oxford Book of Modern Science Writing / Ричард Докинз Оксфордская книга публикаций современной науки: D’Arcy Thompson from ON GROWTH AND FORM / Д'Арси Томпсон из "О росте и форме"

Д'Арси Томпсон из "О росте и форме"

■ Д'Арси Томпсон был еще одним неординарным персонажем, который охватил период нео-дарвинистского синтеза, но он стоял несколько поодаль.

Он возглавляет находящуюся в меньшинстве биологическую школу, которая хотя и не отрицает полностью естественный отбор, предпочитает подчеркивать, что физические силы являются определяющим фактором формы жизни.

Не соглашаясь со взглядами Д'Арси Томпсона на эволюцию, Питер Медавар тем не менее считал, что его книга 1917 г. "О росте и форме" "вне всякого сравнения лучшее литературное произведение в истории науки, которое написано на английском языке".

Исходящая от Медавара оценка очень высокая похвала, но я скажу несколько позже еще больше, переиздавая в другой части книги Медаваровский портрет пера Д'Арси Томпсона.

Самая известная глава книги "О росте и форме" - Метод преобразований, но я здесь выбрал выдержку из другой главы, которая мне особенно дорога (она вдохновила меня на целую главу книги "Поднимаясь на пик невероятного") о спиралях. ■

Логарифмическая спираль
спирали в природе

Многочисленные примеры спиральной конформации, которые мы встречаем в своих исследованиях органических форм, подходят для математических методов исследования.

Но прежде чем мы начнем изучать их, мы должны определиться с терминами, и было бы хорошо попытаться составить грубую предварительную классификацию объектов, с которыми мы будем иметь дело.

В общих чертах спираль - это кривая, кривизна которой непрерывно уменьшается, по мере того, как она отступает от начальной точки, или, другими словами, радиус кривизны которой постоянно увеличивается.

Это определение является достаточно широким, чтобы включать в себя ряд различных кривых, но с другой стороны оно исключает по крайней мере одну, которую в просторечии мы склонны путать с настоящей спиралью.

Эта последняя кривая является простым винтом, или цилиндрической спиралью, кривая которой не начинается из определенной точки и не меняет свою кривизну по мере продолжения.

"Спиральное" уплотнение клетки древесных растений, "спиральная" нить в трахее насекомого или "спиральные" скручивания и переплетения вьющегося стебля, с математической точки зрения, не являются спиралями вообще, а винтовыми линиями.

Они принадлежат к другому, хотя и не очень отдаленному, семейству кривых.

У нас нет недостатка в настоящих органических спиралях. (1)

Сразу вспоминаются рога жвачных животных или еще более изысканно красивые раковины моллюсков, в которых (по словам Плиния) Magna ludentis Naturae varietas (Большие шутки разнообразия Природы).

Тесно связанные спирали можно проследить в цветке подсолнечника; не так легко рассмотреть настоящую спираль в контуре сердцевидного листа, также мы можем увидеть типичные, хоть и недолговечные, спирали в локонах волос, в волокнах шерсти, (2) в хоботе слона, в кольцах свернувшейся змеи, в щупальцах каракатицы, либо в хвосте обезьяны или хамелеона.

Среди таких форм, как эти, и многие другие, которые мы легко могли бы добавить к ним, очевидно, что мы имеем дело с вещами, которые похожи математически, но биологически принципиально разные, и они далеки друг от друга не только биологически, но также различаются в физическом плане из-за определенных причин.

В первую очередь, спиральные витки хобота слона или хвоста хамелеона, как мы уже говорили, имеют временную конфигурацию и являются результатом определенных мышечных сил, действующих на структуру исходной формы, как правило, существенно отличающуюся от спиральной.

Это, скорее, позиция или отношение, чем форма, в том смысле, в котором мы используем этот последний термин, и, в отличие от большинства форм, которые мы изучали, не имеет практически никакого прямого отношения к явлению роста.

Опять же, существует разница между такой спиральной конформацией, как построенная из отдельных последовательно расположенных цветков подсолнечника, и конформацией улитки или наутилуса, которые, явно представляют собой единое и неделимое целое.

И подобная, если не идентичная разница заметна между раковиной Наутилуса и мелкими раковинами Фораминифер, которые так близко имитируют ее: поскольку спиральные раковины последних - сложные структуры, объединенные из последовательных и отдельных камер, в то время как оболочки моллюсков, хотя они могут (как у Наутилуса) становиться вторично подразделенными, выросли как одна непрерывная трубка.

Из всего этого следует, что не может быть физического или динамического, хотя вполне может быть математический закон роста, который является общим для всех, и который определяет, спиральную форму у наутилуса, у глобигерины, бараньего рога, и в соцветии подсолнечника.

Природа, по крайней мере, демонстрирует в них все «отражение строгих форм изучаемых геометрией». (3)

Из спиральных форм, которые мы уже упоминали, каждая (за исключением сердцевидного контура листа) является примером замечательной кривой, известной как равноугольная или логарифмическая спираль.

Но прежде чем приступить к математике логарифмической спирали, давайте внимательно рассмотрим, что все органические формы, насколько бы они не отличались друг от друга по внешнему виду, по своей природе и по своему происхождению, тем не менее принадлежат, в определенном смысле, к одному конкретному классу конформаций.

В подавляющем большинстве случаев, когда мы рассматриваем организм частично или полностью, когда мы смотрим (например) на наши собственные руки или ноги, или любуемся насекомым или червем, мы не имеем никаких оснований (или очень немного) считать одну часть существующей структуры старше другой; новые частицы были объединены и смешаны со старыми; контур, такой как он есть, зависит от сил, которые, по большей части все еще участвуют в его формировании, и которые сформировали его как целое.

Но любопытно отличаются, скажем, рог или раковина улитки, так как существующая на данный момент их структура чатично старая, частично новая.

Это достигуно последовательными и продолжительными приростами; каждая последующая стадии роста, начиная предшествующей, остается неотъемлемой и неизменяющейся частью растущей структуры.

Мы можем пойти дальше, и увидим, что рог и раковина, хотя они принедлежат к живому объекту, сами ни в каком отношении не живые. (4) Они являются побочными продуктами животного. Они состоят из "сформированного материала», как его иногда называют. Их рост не является следствием их деятельности, но исходит от живых клеток под ними или вокруг.

Много структур показывают логарифмическое спиральное увеличение или накапливание но не рост.

Раковина наутилуса или улитки, закрытая раковина фораминифера, бивень слова, зуб бобра, когти кошки или канарейки - все они показывают простую и очень красивую спиральную кривую.

И все одинаково состоят из материала, выделяемого или хранящегося живыми клетками; все растут, как растет здание, путем аккреции накопленного материала; и у всех части, сформированные однажды, продолжают существовать, неспособными к изменениям.

Немного иначе, но очень похожим образом, можно сказать и о о расположенных по спирали цветках подсолнечника.

Здесь мы вновь рассматриваем последовательно расположенные части составной структуры, части которой похожи друг на друга по форме, различаются по возрасту, а также отличаются по абсолютной величине в точном соотношении от их возраста.

Так или иначе, временной элемент всегда входит в логарифмическую спираль, и мы впоследствии вернемся к этому важному факту, имеющему как биологическое, так и математическое значение.

спираль Архимеда

В элементарной математике спирали, мы считаем точку начала координат полюсом (O); прямая линия, крайняя точка которой находится в полюсе, и которая вращается вокруг него, называется радиус-вектором, а точка (P), движущаяся вдоль радиуса-вектора при определенных условиях скорости, описывает нашу спиральную кривую.

Рис. 3 Спираль Архимеда.

Из нескольких математических кривых, форма и развитие которых могут быть представлены таким образом, самыми важными являются две (мы будем иметь дело только с ними), известные как (1) равномерная спираль, или спираль Архимеда, и (2) равноугольная или логарифмическая спираль.

Первую можно грубо сравнить с тем, как моряк сворачивает канат на палубе; так как канат имеет равномерную толщину, в целом спираль состоит из витков, у которых ширина предшествующего равна ширине следующего за ним.

Используя ее древнее определение, мы можем описать ее так: "Если прямая равномерно вращается вокруг своего конца, точка, которая также равномерно движется по ней, описывает равномерную спираль". 5

Или, используя современное определение: "Если, в то время как радиус-вектор равномерно вращается вокруг полюса, точка (P) движется с постоянной скоростью вдоль него, то описываемая кривая является равномерной спиралью, или спиралью Архимеда".

Совершенно очевидно, что спираль Архимеда можно сравнить, но опять же приблизительно, со свернутым спиралью цилиндром.

Совершенно очевидно также, что радиус (r = OP), состоящий из последовательных и равных витков, будет увеличиваться в арифметической прогрессии, и будет равен некоторой постоянной величине (а), умноженной на целое число витков или (более строго говоря ), умноженной на целый угол (q), на который он повернут: так что r = aq.

И это также означает, что радиус пересекает кривую (или ее касательную) под углом, который изменяется медленно, но непрерывно, и который стремится к прямому углу в то время, как число витков увеличивается и они становятся все более и более круглыми.

Логарифмическая спираль

Но, в отличие от этого, в логарифмической спирали наутилуса, раковины улитки или глобигерины, витки последовательно увеличиваются в ширину в постоянном и неизменном соотношении.

Наше определение выглядит следующим образом: «Если бы, вместо того, чтобы путешествовать с равномерной скоростью, наша точка движется вдоль радиуса-вектора с увеличением скорости по мере увеличения ее расстояние от полюса, то описанный путь называется логарифмической спиралью.»

Каждая завитушка, которую пересекает вектор радиуса, будет, в определенном отношении, более широкой, чем его предшественница; вектор радиуса увеличится в длине в геометрической прогрессии, поскольку он проходит через последовательные равные углы; и уравнение спирали будет r = aq.

Поскольку спираль Архимеда, в нашем примере, свернутая веревка, можно рассматривать как спиральный цилиндр, поэтому (но не менее грубо) логарифмическая спираль может быть, в случае с раковиной, изображена в виде конуса, намотанного на самого себя; и это коническая форма хобота слона или хвоста хамелеона делает их свернутое кольцо грубым подобием логарифмической спирали.

Рис. 4 Логарифмическая спираль.

В то время как одна спираль была известна в древности, и исследована, если еще не Архимедом, другая была впервые признана Декартом, и обсуждена в 1638 году в его письмах к Мерсенне.(6)

Начинаясь с концепции растущей кривой, которая должна разрезать каждый вектор радиуса под постоянным углом, так же, как это делает круг— Декарт показал, что обязательно последует за этим, радиусы под равными углами друг другу в центре были бы продолжены в пропорции; то же самое поэтому верно для частей, отрезанных от общего вектора радиуса последовательными завитушками или свернутыми спиралями; и кроме того, расстояния, измеренные вдоль кривой от их начала и перехваченные любыми радиусами, как в B, C, пропорциональны длинам этих радиусов, ОВ, OC.

Из этого следует, что сектора, отсеченные последовательными радиусами, под равными векторными углами, подобны друг другу во всех отношениях; из чего в дальнейшем следует, что число может быть задумана как растущее непрерывно, без какого-либо изменения формы.

Рис.5

Спиральный путь насекомого, летящего на свет.

Из Винсента Вигглсворта (после ван Бадденброека).

Многие специфические свойства логарифмической спирали настолько взаимосвязаны друг с другом, что мы можем спокойно выбрать любой из них в качестве основы нашего определения, и вывести остальные из него либо аналитическими методами или путем элементарной геометрии.

В алгебре, когда mx = n, x называется логарифмом n базовой м.

Следовательно, в этом случае уравнение r = aq может быть записано в виде log r = q log a, или q = log r/log a, или (так как a-константа) q = k log r. (7)

Другими словами можно сказать, (что обнаружил Декарт), что вектор углов вокруг центра пропорциональны логарифмам последовательных радиусов. От этого обстоятельства происходит альтернативное название "логарифмическая спираль".

Кроме того, сколько свойств имеет кривая, столько имен она соответственно может более или менее получить.

Джеймс Бернулли назвал ее логарифмической спиралью, которое мы по-прежнему часто употребляем; П. Николас назвал ее геометрической спиралью, потому что радиусы под равными углами от центра, находятся в геометрической прогрессии; Галлей - пропорциональной спиралью, потому что части радиуса, отрезанные последовательными завитушками, находятся в постоянной пропорции; и наконец, Роджер Котес, возвращаясь к первому описанию Декарта или первому определению из всех, называл ее логарифмической спиралью.(8)

Можно вспомнить замечательный пример Ньютона, при котором сила тяжести изменяется обратно пропорционально кубу, а не квадрату расстояния. Планеты, вместо того, что бы быть привязными к своим эллипсам, были бы оторваны от солнца по спиральным орбитам логарифмической спирали являющейся частным случаем этого. (9)

Исключительный пример той же самой спирали маршрут, которым определенные насекомые следуют к свече.

Благодаря структуре их сложных глаз эти насекомые смотрят не прямо вперед, а ориентируются на свет, который они видят на траверзе под определенным углом.

Так как они беспрестанно приспосабливают свой путь к этому постоянному углу, спиральная тропа приводит наконец их к их месту назначения. (10)

В механических структурах, искривление по существу механическое явление.

Оно имеет место в гибких структурах как результат изгиба, или оно может быть введено в конструкцию с целью сопротивления такому изгибающему моменту.

Но ни раковина, ни зуб, ни коготь не являются гибкими структурами; они не были согнуты в их специфическое искривление, они выросли в него.

В росте раковины, мы не можем придумать более простой закон чем этот, а именно, что он должен расширить и удлинить в тех же самых непеременных пропорциях: и этот самый простой из законов является тем, по которому природа имеет тенденцию следовать.

Раковина, как и существо внутри него, увеличивается в размере, но не меняет свою форму, и существование этой постоянной относительности роста, или постоянное сходство формы, имеет существенное значение, и может быть положено в основу определения логарифмической спирали. (11)

Такое определение, хотя широко и не используется математиками, изредка было употребляется; и это то из чего другие свойства кривой могут быть выведены с большой легкостью и простотой.

На математическом языке это звучало бы следующим образом: ‘Любая [проекция] кривая, исходя из фиксированной точки (которую называют полюсом), и такая, что ее дуга проходит между любыми двумя радиусами под заданным углом друг к другу всегда похожа сама на себя называется логарифмической или логарифмической спиралью.

В этом определении мы имеем наиболее фундаментальное и ‘внутреннее’ свойство кривой, а именно свойство непрерывного подобия, то самое свойство, в силу которого оно связано с органическим ростом в таких структурах, как рог или раковина.

Для нее особенно характерны спиральные оболочки, например, что она не изменяется по мере роста, и каждое приращение подобно своему предшественнику, и в целом, после этого, каждый рывок роста, точно такой же, как и то, чем это было прежде.

Мы не удивляемся, когда животное, которое прячется в раковину или любое другое животное вообще, растет таким симметрическим расширением, чтобы сохранить свою неизменную форму; хотя и здесь, как мы уже видели, неизменная форма обозначает хороший баланс между темпами роста в различных направлениях, однако слишком редко сохраняться долго в точности.

Но раковина сохраняет свою неизменную форму несмотря на ее асимметричный рост; она растет только с одного конца как и рог.

И это замечательное свойство увеличения обьема ростом, при сохранении неизменной общей формы, характерно для логарифмической спирали, и никакой другой математической кривой.

Оно действительно заслуживает имя, которым Якоб Бернулли имел привычку ее называть: Spira mirabilis — «удивительная спираль».

1. A great number of spiral forms, both organic and artificial, are described and beautifully illustrated in Sir T. A. Cook’s Spirals in Nature and Art (1903) and Curves of Life (1914).

2. On this interesting case see, for example, J. E. Duerden, in Science (25 May 1934).

3. Haton de la Goupillière, in the introduction to his important study of the Surfaces Nautiloides, Annaes sci. da Acad. Polytechnica do Porto, Coimbra, iii, 1908.

4. For Oken and Goodsir the logarithmic spiral had a profound significance, for they saw in it a manifestation of life itself. For a like reason Sir Theodore Cook spoke of the Curves of Life; and Alfred Lartigues says (in his Biodynamique générale, 1930, p. 60): ‘Nous verrons la Conchyliologie apporter une magnifique contribution à la Stéréo- dynamique du tourbillon vital.’ The fact that the spiral is always formed of non-living matter helps to contradict these mystical conceptions.

5. Leslie’s Geometry of Curved Lines (1821), p. 417. This is practically identical with Archimedes’ own definition (ed. Torelli, p. 219); cf. Cantor, Geschichte der Mathematik (1880), 1, 262.

6. Œuvres, ed. Adam et Tannery (Paris, 1898), p. 360.

7. Вместо r = aq, мы могли бы записать r = r0aq; в этом случае значение r0 величина r для нулевого значения q.

8. James Bernoulli, in Acta Eruditorum (1691), p. 282; P. Nicolas, De novis spiralibus (To-losae, 1693), 27; E. Halley, Phil. Trans. 19 (1696), 58; Roger Cotes, ibid. (1714), and Harmonia Mensurarum (1722), 19. For the further history of the curve see (e.g.) Gomes de Teixeira , Traité des courbes remarquables (Coimbra, 1909), 76–86; Gino Loria, Spezielle algebräische Kurven (1911), 11, 60 seq.; R. C. Archibald (to whom I am much indebted) in Amer. Math. Mon. 25 (1918), 189–93, and in Jay Hambidge’s Dynamic Symmetry (1920), 146–57.

9. Principia, 1, 9, 11, 15. On these ‘Cotes’s spirals’ see Tait and Steele, 147.

10. Cf. W. Buddenbroek, Sitzungsber. Heidelb. Akad. ( 1917); V. B. Wigglesworth, The Principles of Insect Physiology (1939), 167.

11. See an interesting paper by W. A. Whitworth, ‘The Equiangular Spiral, its Chief Properties Proved Geometrically’, Messenger of Mathematics (1), 1 (1862), 5. The celebrated Christian Wiener gave an explanation on these lines of the logarithmic spiral of the shell, in his highly original Grundzüge der Weltordnung (1863).

Внимание! Этот перевод, возможно, ещё не готов.
Его статус: перевод редактируется

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/35417/125521

Переводчики: Irina73, astera, cullin, Opheleia