Готовый перевод Feynman's lost lecture. Motion of planets around the Sun / Пропавшая лекция Фейнмана. Движение планет вокруг солнца.: Feynman's lost lecture. Motion of planets around the Sun

Мы советуем читать этот текст, слушая запись лекции профессора Фейнмана.

Лекция называется "Движение планет вокруг Солнца".

После плохих новостей, которые я только что объявил, у меня есть кое-какие хорошие новости по тому же поводу. Поскольку приближается вторник - время экзамена, никто не станет давать лекцию, которую вам потребуется выучить. Так что я прочту лекцию просто ради удовольствия, для вашего развлечения [аплодисменты]. Хорошо, хорошо. Тише, я не смогу ее прочесть. Приберегите аплодисменты до окончания, и будьте внимательны.

История нашего предмета физики [пришла] в один из самых драматических моментов, когда Ньютон внезапно понял столь много из столь малого. И история этого открытия - конечно, длинная история о Копернике, Тихо [Браге], измерявшем положения планет, и Кеплере открывшего законы, которые эмпирически описывали движение этих планет. Именно тогда Ньютон обнаружил, что он может понять движение планет, провозгласив другой закон. Вы все это знаете из лекции о гравитации, и я продолжу прямо оттуда, с кратким обзором этого материала.

Во-первых, Кеплер заметил. что планеты обращаются вокруг Солнца по эллипсам, и Солнце находится в одном их фокусов эллипса. Он также заметил–он сделал три наблюдения [орбит]–что площадь, ометаемая линией, проведенной от Солнца к орбите, вот эта площадь, пропорциональна времени. И наконец, он открыл то, что объединяет планеты на разных орбитах, что на разных орбитах они имеют период, или время одного оборота по орбите, пропорционально большему диаметру эллипса в степени 3/2. Если бы это были окружности (для простоты), это значило бы что квадрат времени, за которое делается оборот, пропорционален кубу радиуса окружности.

Из этого Ньютон смог обнаружить две вещи. Во-первых, он заметил, что одинаковые площади за одинаковое время означают, согласно его взглядам на инерцию, что предмет будет двигаться по прямой линии с неизменной скоростью, если ему не мешать, и что отклонения от неизменной скорости всегда направлены в сторону Солнца, и эти одинаковые площади за одинаковое время равносильны утверждению, что силы направлены к Солнцу.

Причина этого примерно такова: возьмем определенную часть орбиты, ограниченную фиксированным углом, небольшим углом, и частицу, имеющую определенную скоростью в одной части орбиты и с другую скоростью позже. Изменение скорости за интервал времени – фиксированный интервал – что и есть сила, очевидно, пропорционально скорости на орбите умноженной на время, необходимое для прохода по этой части орбиты. Я имею в виду, деленное на время.

Таким образом изменение скорости пропорционально скорости. И время, в течение которого это изменение произошло пропорционально времени, которое требуется, чтобы обойти вокруг всей орбиты, потому что это фиксированный угол, например, одна сотая орбиты. Следовательно. центростремительное ускорение, или изменение за секунду скорости в направлении центра, пропорциональна скорости на орбите, деленное на время одного оборота. Примечание 1

// 1 Feymnan говорит Av/At пропорционально v/T. См. главу 3, стр. 108. Он упоминает Av/At как "центростремительное ускорение" выше, а ниже называет его "центробежное ускорение" //

Вы можете представить это разными способами, потому что, конечно, время оборота связано со скоростью этим отношением. Так скорость, умноженная на время, это пройденный путь – или, скорее, что скорость, умноженная на время пропорциональна радиусу. И поэтому вы можете либо заменить на время, получив ваши знаменитые v2/R. Или, еще лучше, я заменю скорость R/T. Скорость, очевидно, пропорциональна радиусу деленному на время оборота вокруг, так что центробежное ускорение направлено радиусу и обратно пропорционально квадрату времени оборота.

Но Кеплер говорит нам, что время оборота в квадрате пропорционально радиусу в кубе. То есть, знаменатель пропорционален кубу радиуса, и, следовательно, ускорение в направлении центра обратно пропорционально квадрату расстояния. Так Ньютон смог заключить – на самом деле, [Роберт] Гук сделал это таким же образом еще раньше – что эта сила будет обратно пропорциональна квадрату расстояния. Так из двух законов Кеплера, мы получаем только два вывода. Никто не может таким образом проверить все . Это не особенно интересно, так как количество гипотез равно количеству фактов, которые мы получаем в результате предположений.

С другой стороны, Ньютон обнаружил, что больше всего впечатляет в его открытиях, это то. что третий закон (Фейнман имеет в виду Первый закон) Кеплера является следствием двух других. Учитывая, что сила направлена к Солнцу, и что она изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, то высчитать это тонкое сочетание изменений направления и скорости, чтобы определить форму орбиты, и обнаружить, что она представляет собой эллипс, является вкладом Ньютона, и, таким образом, он почувствовал, что наука продвинулась, оттого что он смог понять три вещи исходя из двух.

Как вы хорошо знаете, он понял, в конечном счете, гораздо больше, чем три вещи – что орбиты на самом деле не являются эллипсами, что они возмущают друг друга, что движение спутников Юпитера также понятно, движение Луны вокруг Земли и т.д., но давайте просто сосредоточимся на одном пункте, и проигнорируем взаимодействие одной планеты с другой.

Таким образом я могу обобщить то, что Ньютон говорил о планете: что изменения скорости за равные промежутки времени направлены в сторону Солнца, и их эти изменения обратно пропорциональны квадрату расстояния. Теперь наша задача продемонстрировать– и это главная задача нашей лекции – что исходя из этого орбита представляет собой эллипс.

Это не сложно, если знать математический анализ, и написать дифференциальное уравнение, и решить его, чтобы показать, что это эллипс. Я полагаю, что здесь на лекциях, или по крайней мере по книге, [вы] рассчитали орбиту с помощью численных методов и увидели, что она похожа на эллипс. Но это не совсем то же самое, что доказать, что это именно эллипс. Такую работу обычно оставляют математическому факультету – доказывать, что это эллипс, так что им есть, где применить дифференциальные уравнения. [Смех]

Я же хочу вам доказать, того, что это эллипс, абсолютно странным, особенным способом, чем те, к которым вы привыкли. Я собираюсь показать вам то, что я называю элементарным доказательством. [Но] "элементарное" не значит легкое для понимания. "Элементарное" значит, что для начала надо знать очень мало, но нужно много сообразительности, чтобы разобраться. Нужны не знания, а сообразительность, чтобы понять элементарные доказательства. Может быть большое число шагов, за которыми очень сложно следовать, но каждый шаг не требует предварительного знания матанализа, преобразований Фурье и всего такого. Итак, под элементарным доказательством я имею в виду необходимое количество начальных знаний.

Конечно, элементарным доказательством можно понимать и такой способ: обучить вас сначала матанализу, а потом приводить доказательство. Но это все же дольше, чем то доказательство, которое я хочу продемонстрировать. Во-вторых, это доказательство интересно по другой причине–в нем используются исключительно геометрические методы. Может быть, некоторые из вас были в восхищении от геометрией в школе и получали удовольствие догадываясь, как построить правильные линии. Многие люди ценили элегантность и простоту геометрических доказательств. С другой стороны, после Декарта вся геометрия была сведена к алгебре, и сегодня вся механика и все такие вещи сведены к анализу при помощи символов на бумаге, а не геометрическим методам.

С другой стороны, в начале нашей науки, то есть во времена Ньютона-геометрический метод анализа в исторической традиции Евклида был очень хорошим способом создавать новое. И в самом деле, Принципы Ньютона написаны практически полностью геометрическим образом, каждое из исчисления делается путем геометрических диаграмм. Мы делаем это и сейчас записывая аналитические символы на доске, но для вашего развлечения и интереса я хочу, чтобы вы проехали в элегантном экипаже, вместо того, чтобы промчатся в модном автомобиле. Таким образом, мы собираемся вывести этот факт с помощью чисто геометрических аргументов, ну, по существу, геометрических соображений, потому что я не знаю, означает ли это что-либо точное, я не знаю, что означают чисто геометрические аргументы но, по существу, геометрические соображения, и посмотреть, насколько хорошо мы преуспеем.

Итак, наша задача — показать, что в нашем предположении — что изменения скоростей направлены к солнцу, и обратно пропорциональны квадрату расстояния за равные промежутки времени — орбиты являются эллипсами. Для начала нужно понять — что же такое эллипс? Если не существует доступного определения эллипса, то становится невозможным обосновать эту теорию. Более того, если вы не можете понять смысл этого утверждения, вы конечно же не сможете доказать теорему.

Многие скажут: "Это конечно так, но Вы же должны что-то знать об эллипсе.", я знаю, вы тоже так думаете. И вы тоже обладаете некоторыми знаниями по этой теме. Я не думаю, что нам нужно много дополнительной информации. Просто будьте очень внимательны, пожалуйста. Это непросто, это своего рода работа, но она стоит того. Намного проще сделать это с помощью вычислений, но вы собираетесь сделать это другим путем, и вы должны запомнить, что это то же самое, что увидеть, как оно будет выглядеть.

Есть несколько определений эллипса, и я должен выбрать одно из них. Я думаю, что вам всем хорошо известно, что эллипс может быть получен с помощью с помощью двух гвоздиков и верёвки: помещаем карандаш сюда и обводим. Если говорить математическим языком, то это ГМТ (как говорят сейчас — множество всех точек), таких что сумма расстояний FP и F'P от двух фиксированных точек постоянна. Я полагаю, вам известно это определение эллипса. Вы также могли слышать и другое определение: если пожелаете, назовём эти точки фокусами, тогда свет, выпущенный из F, попадёт в F', отразившись от эллипса.

Позвольте мне доказать эквивалентность этих утверждений. Итак, следующим мой шаг — показать, что свет отразится из F в F'. Свет отражается от кривой так же, как от её касательной в этой точке. Вы, конечно же, знаете, закон отражения света: угол падения равен углу отражения. Следовательно, мне достаточно доказать, что если я проведу прямую через точку P, такую что углы, образованные этой прямой с отрезками FP и F'P, равны, то исходная прямая является касательной к эллипсу.

У меня есть еще одно свойство для описания эллипса, по причине скрытой от вас оно мне понадобится позже для демонстрации.

Внимание! Этот перевод, возможно, ещё не готов.
Его статус: идёт перевод

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/43132/168575

Переводчики: Kanta, Irina73, arbelos