Готовый перевод Didicosm // G. Egan (2023) / Дидикосм // Г.Иган (2023): материалы

Дидикосм

Петли в пространстве

Классификация петель

Петли и дыры

Ссылки

Дидикосм

Дидикосм — это определенный вид трехмерного пространства, один из десяти платикосмов, название, данное математиком Джоном Конвеем[1] пространству, имеющему конечный объем, не имеющему границ и плоскую геометрию: локально такую ​​же геометрию, как и обычное евклидово пространство. Четыре из десяти платикосмов являются неориентируемыми (свойство, для которого лента Мёбиуса является самым известным двумерным примером), что привело бы к серьезным осложнениям, если бы мы жили внутри такого пространства, поскольку это позволило бы материи преобразоваться в свое собственное зеркальное отражение, просто перемещаясь по петле. Остальные шесть, включая дидикосм, являются потенциальными кандидатами на форму нашей собственной вселенной, если она окажется конечной.[2] (Дидикосм также называют многообразием Ганцше-Вендта, названным в честь математиков, которые открыли его в 1930-х годах, но мы будем использовать название, которое Конвей дал ему гораздо позже.)

Дидикосм можно создать, взяв прямоугольную призму, как на изображении справа, и “идентифицировав” ее грани, чтобы при перемещении внутри призмы в любую точку на ее границе вы снова вошли в нее в другой точке, определяемой способом сопоставления граней друг с другом.

Для двух граней, обозначенных как Грань A, это делается самым простым из возможных способов: если вы нажмете на переднюю грань A, вы перейдете в соответствующую точку на задней грани A, и наоборот.

Для двух граней, обозначенных как грань B, идентификация немного сложнее: когда вы достигаете точек на этих гранях, вы переходите к другой грани, одновременно поворачиваясь на 180 градусов вокруг вертикальной оси, о чем свидетельствует способ поворота меток на изображении.

Для граней, обозначенной как грань C, вы переходите к новой горизонтальной координате, добавляя или убавляя половину длины грани, в то время как ваша вертикальная координата отражается на горизонтальной средней линии грани. То же самое происходит для грани D.

Эти разные инструкции могут заставить вас задуматься о том, что происходит по краям и в вершинах призмы. На первый взгляд, инструкции могут показаться противоречивыми. Например, предположим, что вы попали на ребро, разделяемое гранями, обозначенными как грань A и грань B; инструкции для грани A предписывают вам перепрыгнуть в другую точку на той же высоте, в то время как инструкции для грани B предписывают вам перепрыгнуть между верхней и нижней гранями. Но точно так же, как две грани, обозначенные как грань A, образуют только один прямоугольник в самом дидикосме, четыре ребра, разделяемые гранями, обозначенными как грань A и грань B, образуют только один отрезок линии в дидикосме.

Цилиндры по краям

На изображении слева этот отрезок окружен красным цилиндром, который на этом виде разделен на четверти, но в дидикосме является непрерывным объектом. Здесь цилиндры разных цветов, хотя и кажутся разделенными на половинки или четверти, окружают каждый отдельный отрезок линии и являются непрерывными объектами в дидикосме.

Аналогично, в дидикосме на самом деле есть только две различные точки, которые соответствуют вершинам прямоугольной призмы, и на этом изображении в центре них расположены черные и белые сферы.

Вы также можете опасаться, что некоторые элементы на границе призмы будут отображаться в дидикосме как дефекты в ее геометрии, что не позволит ей локально совпадать с евклидовым пространством в некоторых точках или выделять определенные места как особые. Но это не так. Точно так же, как вы можете сформировать идеально плоскую версию тора (поверхность бублика), определив противоположные края квадрата, не нарушая геометрию, здесь происходит то же самое: каждая точка в дидикосме выглядит так же, как и любая другая, без каких-либо следов построения из призма уцелела.

Поскольку каждый путь, который вывел бы вас из прямоугольной призмы, просто возвращает вас в нее где-то еще, дидикосм сам по себе не имеет границ. Но для ясности, этот способ описания топологии дидикосма не следует воспринимать как подразумевающий, что это действительно коробка, расположенная внутри большего евклидова пространства, и какой-то процесс соединил ее грани таким своеобразным образом. Для нас это просто удобный способ визуализировать, как все взаимосвязано.

Фигуры в калейдоскопическом представлении дидикосма

Эти копии призмы не только смещены относительно оригинала, но и поворачиваются по мере необходимости, чтобы их грани соответствовали друг другу. Обратите внимание, что ни одна из копий не является зеркальным отображением оригинала; поднятая рука фигуры всегда является правой рукой.

Классификация петель

В евклидовом пространстве или на поверхности шара каждая петля может непрерывно деформироваться в такую, которая просто остается на уровне P (так называемая тривиальная петля). Но на торе (поверхности бублика) петли, которые обматываются вокруг тора разное количество раз, будут принадлежать разным классам эквивалентности. Фактически, мы можем классифицировать все классы эквивалентности с помощью пары целых чисел (a, b), которые подсчитывают, сколько раз петля огибает тор в каждом из двух направлений, с положительными или отрицательными целыми числами в зависимости от выбранного нами направления.

Гомотопия тора

Самый простой способ представить это - не рисовать трехмерный бублик и не смотреть на его поверхность, или не рисовать один квадрат с идентифицированными противоположными краями, а рассматривать тор в калейдоскопическом режиме, когда мы заполняем двумерное евклидово пространство копиями квадрата, представляющего собой тор

Если мы внимательно посмотрим на алгебраические соотношения между этими тремя вращениями винта, то обнаружим:

где под 1 мы подразумеваем преобразование, которое ничего не делает, которое является тождеством в группе вращений и переводов.

X ^ 2 Y X ^ 2 деформировано, чтобы показать, что оно равно Y

Несжимаемый цикл как граница

Конечная поверхность

Независимо от того, ориентируемы они или нет.

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/86374/579682

Переводчики: hoeo