Готовый перевод Richard Dawkins The Oxford Book of Modern Science Writing / Ричард Докинз Оксфордская книга публикаций современной науки: Lancelot Hogben from MATHEMATICS FOR THE MILLION / Ланселот Хогбен из "Математика для миллионов"

Ланселот Хогбен

из "Математика для миллионов"

■ Для предыдущего поколения, Мартин Гарднер подобно роли сыгранной Ланселотом Хогбеном, на самом деле биолог и автор знаменитой Математики для миллионов.

Подход Хогбена состоялся в более головокружительной исторической обстановке.

Как я уже отмечал у Холдена, Хогбен был человеком левых взглядов, политика которого иногда навязывалась в его работах, которые кажется написаны для нас сегодня, и его историческое обращение к каждой отрасли математики подчеркнуло свою экономическую важность, инновационность, всегда стимулируемую потребностью.

Как это проявляется - этот уклон лишь слегка очевиден в выдержке, которую я выбрал и которая является удачным рассмотрением известного парадокса Зенона об Ахилле и черепахе (см. также Дуглас Хофштадтер, ниже), и как сегодня мы решаем его с использованием математического понятия пределов и сходимости бесконечного ряда. ■

В приключении, к которому мы собираемся приступить, мы будем постоянно находить, что не испытываем затруднений в ответах на вопросы, которые подвергли в древние времена пыткам умы очень умных математиков.

Это не потому, что вы и я очень умные люди.

Это происходит потому, что мы унаследовали социальную культуру, которая испытала влияние материальных сил чуждых интеллектуальной жизни античного мира.

Самых блестящий интеллект заключен в рамки своей социальной наследственности.

Иллюстрация поможет сделать это вполне определенным с самого начала.

Элейский философ Зенон заставил всех своих современников теряться в догадках, предлагая серию головоломок, из которых одним из наиболее часто цитируемых является парадокс Ахилла и черепахи.

Вот проблема, о которой изобретатели школьной геометрии спорили до хрипоты в горле и писательских судорог.

Ахиллес бежит наперегонки с черепахой.

Он бежит в десять раз быстрее, чем черепаха.

Черепаха стартует в 100 метрах впереди.

Теперь, говорит Зенон, Ахиллес пробежит 100 метров и достигает места, откуда черепаха начала.

Между тем черепаха прошла одну десятую Ахиллеса и - поэтому на 10 метров впереди Ахиллеса.

Ахиллес пробегает эти 10 метров.

Между тем черепаха проползла одну десятую часть пройденного Ахиллесом и - поэтому перед ним на один метр.

Ахиллес пробегает этот метр.

Тем временем черепаха пробежала десятую ярда и, таким образом, на десятую ярда опережает Ахиллеса.

Ахиллес пробегает эту десятую ярда.

Тем временем черепаха продвигается на десятую десятой ярда.

Теперь она опережает Ахиллеса на сотую ярда.

Когда Ахиллес преодолевает эту сотую ярда, черепаха оказывается на тысячную ярда впереди.

Таким образом, утверждает Зенон, Ахиллес постоянно приближается к черепахе, но никогда её не настигнет.

Не стоит думать, что Зенон и прочие мудрецы, утверждавшие это, отказывались признавать, что на самом деле Ахиллес опередит черепаху.

На самом деле, их интересовало, когда именно произойдет обгон. Вы, возможно, тоже задавались этим вопросом.

Здесь важно, что вас заинтересовал этот вопрос по иной причине, нежели их.

Вам интересно, почему они обдумывали небольшие забавные загадки такого рода.

То есть на самом деле, для вас - это проблема исторического характера.

Через минуту я покажу, что для вас эта проблема не представляет никакой математической сложности.

Вы знаете, как перевести ее на язык размеров, потому что вы обогащены наследством социальной культуры, которая отделена от их культуры падением двух великих цивилизаций и двумя грандиозными социальными революциями.

Трудность древних не историческая трудность.

Это была математическая трудность.

Они не развили язык соразмерности, на который могла быть свободно переведена эта проблема.

Рисунок 19. Гонка Ахилла и черепахи.

Греческая геометрия, которая была бесконечна, не могла сделать очевидным то, что Ахиллес настигнет черепаху.

Новая геометрия ньютонова века поместила в картину время, таким образом показывая, когда и где эти двое поравняются.

Греки не были приучены к ограничениям скорости и путешественника - допустимому количеству.

Они сочли более сложной проблему вовлечения участников, чем проблему, связанную с мультипликацией.

У них не было способа выполнить расчеты в точной последовательности потому что для расчета они полагались на счеты или абак.

Они не могли решить задачу на бумаге.

По всем этим и другим причинам, которые мы встретим снова и снова, греческий математик был неспособен видеть что-то, что видим мы, не принимая на себя труд беспокоиться о том, видим мы это или нет.

Если мы продолжаем нагромождение больших и больших количеств, куча продолжает расти более быстрыми темпами, без конца, пока мы продолжаем добавлять.

Если мы можем продолжать добавление больших и больших количеств неопределенно без остановки, современникам Зенона казалось, что мы должны быть способны продолжать добавление меньшего и все еще меньшего количества неопределенно без достижения предела.

Они думали, что в одном случае груда растет бесконечно, вырастая более быстро, а в другом она растет бесконечно, вырастая более медленно.

Не было ничего в их числовом языке, чтобы предположить, что, когда двигатель замедляется после определенной точки, он останавливается.

Чтобы увидеть это наглядно, давайте сначала разложим в цифрах расстояние, которое черепаха пересекает на различных стадиях гонки после того, как ее начинает Ахилл.

Как мы описывали выше, черепаха продвигается на 10 ярдов на первом этапе, на 1 ярд на втором этапе, на одну десятую ярда на третьем этапе, на сотую ярда на четвертом этапе и т.д.

Предположим, что мы пользуемся тем языком чисел, что был у греков, римлян или евреев - для этого они использовали алфавит.

Используя тот из них, что наиболее нам знаком, так как и поныне он применяется на циферблатах часов, кладбищах и в судах, мы могли бы записать сумму отрезков, которые пробежала черепаха, прежде чем Ахиллес настиг ее, следующим образом:

X+I+ I/X + I/C + I/M, и так далее¹

Мы указали "и так далее" в связи с тем, что в древнем мире возникали большие сложности, когда приходилось обращаться с числами, большими, чем несколько тысяч.

Помимо того, что мы оставили хвост этой последовательности силе нашего воображения (и не забывайте, что хвост - это большая часть животного, когда длина его бесконечна), у нашей записи есть еще один недостаток.

Ничто в ней не подсказывает, каким образом расстояния, пройденные на каждом этапе гонки, связаны между собой.

Сегодня у нас есть язык цифр, делающий эту связь очевидной, когда мы записываем выражение в виде: 10+1+ 1/10+1/100 + 1/1,000 + 1/10,000 + 1/100,000 + 1/1,000,000 и так далее.

Здесь мы указываем "и так далее" лишь для удобства, а не потому что у нас нет необходимых слов для чисел.

Эти слова-числа были позаимствованы у индусов, которые научились записывать их уже после того, как Зенон и Евклид сошли в могилу.

Социальная революция - протестантская Реформация - дала нам школы, сделавшие язык чисел общим достоянием человечества.

Следующий социальный переворот, Великая французская революция, обучила нас обновленной орфографии.

А благодаря акту об образовании, принятому в 19-м веке, эта обновленная орфография является базовым знанием, которым владеет практически каждый сознательный представитель англо-говорящего мира.

Давайте запишем последнюю сумму, используя обновленную орфографию, которую мы называем десятичной записью.

У нас получится: 10+1+0,1+0,01+0,001+0,0001+0,00001+0,000001 и т.д.

Запись этой суммы в десятичной форме мы использовали только для того, чтобы напомнить себе, что равняться она будет емкому 11,11111 и т.д., или еще лучше - 11,1

В данном случае под дробью 0,1 мы подразумеваем число меньшее, чем 2/10, и большее, чем 1/10.

Если мы еще не совсем забыли арифметику, которую изучали в школе, то даже можем вспомнить, что наше 0,1 соответствует дроби 1/9.

Это означает, что чем больше слагаемых в выражении 0,1+0,01+0,001 и т.д., тем ближе его сумма будет к значению 1/9, никогда при этом не превосходя 1/9.

И так, расстояние, на которое продвинется черепаха до того момента, как Ахиллес настигнет ее, равно всего 1/9 ярда и не больше.

Теперь вы видите, что я имел ввиду, говоря, что данная задачка не представляет для вас математической сложности.

Ведь вы владеете языком чисел, сконструированным так, чтобы его можно было использовать для решения задач, объединенных впечатляющим названием.

Математики называют их задачами сходимости бесконечного ряда к предельному значению.

Говоря простым языком, это означает только то, что если вы будете пополнять некую стопку предметов все меньшими и меньшими порциями очень долго, то в конце концов вы можете получить стопку, размер которой принципиально не изменится от добавления следующих порций.

Огромная трудность, с которой столкнулись математики древнего мира, когда они имели дело с процессом бесконечного деления, или с тем, что современные математики называют бесконечным рядом, пределами, трансцендентными числами, иррациональными величинами, и т.д, является примером того, большая социальная истина подтверждается всей историей человеческого познания.

Плодотворный интеллектуальный труд умнейших людей питается базовыми знаниями, имеющимися у каждого из нас.

Какой бы умный не был человек, есть границы, задаваемые социо-культурным контекстом, которые ему никогда не преодолеть.

И если великие умы находят предмет для гордости в собственной изоляции, то следует задаться вопросом: "А так ли уж они велики?"

Изучение математики покажет нам, что как только культура теряет связь с тем, чем человек живет, становясь лишь развлечением праздного класса, она превращается в культ.

Обреченный, как и все культы, погибнуть в собственных суевериях.

Глупо и опасно гордиться интеллектуальной изоляцией от общества, пренебрегая просвещением, как важнейшей социальной задачей.

Прогресс в познании заканчивается на этом.

Ни одно общество, особенно такое сложное и механизированное как наше, не может быть в безопасности в руках кучки умников.

¹ На самом деле у римлян не существовало такого удобного метода представления правильных дробей, которым мы воспользовались для иллюстрации.

Внимание! Этот перевод, возможно, ещё не готов.
Его статус: перевод редактируется

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/35417/126981

Переводчики: Irina73, algrid, Mariha, falcton