Готовый перевод Richard Dawkins The Oxford Book of Modern Science Writing / Ричард Докинз Оксфордская книга публикаций современной науки: Ian Stewart from THE MIRACULOUS JAR / Ян Стюарт из "Чудесная фляга"

Ян Стюарт из "Чудесная фляга"

■ Бесконечностью часто злоупотребляют в риторических высказываниях ("Моцарт - бесконечно лучший композитор, чем...", "Брадман был бесконечно лучшим игроком в крикет, чем...", "Нет он не лучший, он бесконечно лучше).

Бесконечность означает нечто гораздо более точное, чем это.

Ян Стюарт - современный математик, продолжающий традиции Ланселота Хогбена и Мартина Гарднера в качестве распространителя чудес математического воображения.

В ‘Чудесной фляге’ он рассматривает пугающую идею бесконечности самым тщательным образом, как это делают математики, и объясняет, как великие математики стремились ее приручить. ■

Возьмите любую математическую книгу или журнал, и вы, вероятно, прочтете не более двух страниц в ней, пока вы на полной скорости не врежетесь в бесконечность.

Для примера я случайным образом выбрал несколько книг с собственной полки.
На второй строке предисловия к «Высшей Арифметике» Гарольда Дэвенпорта речь идет о "натуральных числах 1, 2, 3 …", где многоточие подразумевает, что список натуральных чисел - бесконечен.

На второй странице "Вычислительной математики" Ли Джонсона и Дина Риса обращаются к бесконечным последовательностям в контексте экспоненциальной функции.

Б.А.Ф. Верфритц "Бесконечные линейные группы" - надо ли что-то добавлять?
Фраза на первой странице "Нелинейной динамики и турбулентности" под редакторством Г. И. Баренблатта, Ж. Йосса и Д. Джозефа "уравнения Навье-Стокса или конечномерная аппроксимация Галеркина" аккуратно подводит нас к тому, что в общем виде математики рассматривают систему уравнений Навье-Стокса как бесконечномерный объект.

На странице 434 "Выигрышных стратегий математических игр" Элвина Берлекампа, Джона Конвея и Ричарда Гая говорится об игре с позициями ∞, ±1, ±4, где ∞ - общепринятый символ для обозначения бесконечности.

Вы можете возразить, что страница 434 не вписывается в мое утверждение, но это шестая страница второй части, а первую часть я не поверял.

Бесконечность, как сказали Филип Дэвис и Рубен Херш, - "чудесная фляга математики".

А чудесна она из-за своей неистощимости.

Уберите один элемент из бесконечной фляги и у вас останется, нет, не на один элемент меньше, а ровно такое же их количество.

Именно такие парадоксы порождали настороженность многих наших предшественников в отношении дискуссий, затрагивающих бесконечность.

Но привлекательность бесконечности слишком велика.

Она является поразительным местом, в котором можно избавиться от неудобных сущностей.

Количество математических доказательств, достигших цели за счет устремления всех сложностей в бесконечность, после чего остается только наблюдать, как они растворяются в ней, само по себе почти бесконечно.

Но что мы в действительности подразумеваем под бесконечностью? Является она сумасбродным вздором или ее можно использовать? Существуют ли в действительности математические бесконечности или это искусные подделки, волк бесконечности в бесконечной овечьей шкуре?

Отель Гильберта.

Если вы сервируете стол, и на каждого гостя за столом полагается один нож и одна вилка, то вы знаете, что ножей на столе будет ровно столько же, сколько вилок.

Это верно независимо от того, планируете вы романтический ужин на двоих или банкет на 2000 персон. Вам не обязательно знать сколько ожидается гостей, чтобы быть уверенным, что количество вилок и ножей будет равным.

Это наблюдение - краеугольный камень всей концепции чисел.

Говорят, что два множества находятся во взаимно-однозначном соответствии, если каждому элементу первого множества соответствует уникальный элемент второго множества, как верно и обратное.

Множества, между которыми может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, содержат одинаковое количество элементом.

Однако, если рассматривать бесконечные множества, возникает парадокс.

Например, Гильберт описал некий воображаемый отель, имеющий бесконечное количество комнат, пронумерованных 1, 2, 3 ...

Однажды, в то время как отель полностью заполнен, в него прибывает одинокий гость, желающий снять номер.

Предприимчивый менеджер отеля переселяет каждого из гостей в комнату со следующим номером. Так, постоялец из комнаты 1 переселяется в комнату 2, из комнаты 2 - в комнату 3 и так далее.

После того, как все постояльцы переселены, комната с номером 1 остается свободной для новоприбывшего гостя. На следующий день прибывает поезд Бесконечных путешествий, привезший бесконечное количество новых гостей.

В этот раз менеджер переселяет постояльца из комнаты 1 в комнату 2, из комнаты 2 - в комнату 4, из комнаты 3 - в комнату 6, ..., из комнаты n - в комнату 2n.

Это освобождает все комнаты с нечетными номерами, так что пассажир поезда с номером 1 может занять комнату 1, с номером 2 - комнату 3, с номером 3 - комнату 5 и, в общем виде, с номером n - комнату 2n-1.

И даже если прибудет бесконечное количество бесконечных поездов с туристами, таким образом все смогут разместиться.

Подобные парадоксы возникали на протяжении всей истории математики.

Прокл, написавший комментарии к работам Евклида примерно в 450 году нашей эры, отметил, что диаметр делит круг на два полукруга, таким образом возможных полукругов должно быть в два раза больше, чем возможных диаметров.

Философы средних веков осознали, что две окружности с общим центром могут быть сопоставлены друг другу путем сопоставления принадлежащих им точек, лежащих на одной линии радиуса. Таким образом, меньшая окружность состоит из такого же количества точек, что и большая.

В книге Галилея "Математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки" проницательный Сальвиати обращает внимание на ту же проблему: "Если я спрошу вас, каково число квадратов чисел, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень - более одного квадрата. Но в случае если я спрошу, далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что ᴏʜо равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какᴏᴦᴏ-либо квадрата; установив ϶ᴛᴏ, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются ᴃϲᴇ числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как большая часть их не является квадратами”

На что Симпличио растерянно отвечает: "Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такᴏᴦᴏ положения?" Вынуждая Сальвиати признать: "Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что поскольку бесконечно много чисел вообще, бесконечно много квадратов, бесконечно много корней, то ни множество квадратов не меньше множества всех чисел, ни последнее не больше первого; в конечном выводе — свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеют места там, где дело идёт о бесконечности, и применимы только к конечным числам."

Замаскированная бесконечность

Галилей объясняет подобные парадоксы тем, что бесконечность ведет себя отлично от каких бы то ни было других сущностей, и лучше бы её избегать.

Но иногда избежать ее очень трудно.

Наиболее остро проблема бесконечности встает с развитием математического анализа, при появлении бесконечных последовательностей.

Например, какова будет сумма 1+1/2+1/4+1/8+1/16+...?

Легко заметить, что с возрастанием числа слагаемых сумма будет все ближе и ближе к 2.

Это ведет к утверждению, что бесконечная сумма такого ряда будет равна 2.

Ньютон сделал бесконечные ряды основой его дифференциального и интегрального исчисления.

Так что вопроса о логике бесконечных рядов не избежать.

А ведь они сами по себе парадоксальны.

Например, чему равняется выражение 1-1+1-1+1-1+...?

Если записать его в таком виде (1-1)+(1-1)+(1-1)+..., то, очевидно, 0.

С другой стороны, 1-(1-1)-(1-1)-... также очевидно равно 1.

Получаем 0=1, и вся математика разваливается на куски из-за противоречия.

Но математический анализ был слишком важен для тех, кто его применял, чтобы отправиться в небытие из-за незначительных прорех и философских проблем наподобие этой.

В конечном счете, задача была решена путем постановки более слабого условия: вместо бесконечных сумм стали использовать сложные конечные суммы.

Вместо того, чтобы сказать, что сумма бесконечного ряда а0+а1+а2+... равняется а, мы говорим, что сумма конечного ряда а0+а1+а2+...+аn будет отличаться от а не более чем на величину заданной ошибки ε при n больше N, где N зависит от ε.

Только если существует такое а, ряд называется сходящимся, то есть если сумма ряда стремится к некоторому определенному числу.

В таком же ключе выражение "существует бесконечное множество целых чисел" можно заменить на "для любого целого числа существует большее целое число".

Как сказал Гаусс в 1831 г.: "Я протестую против употребления бесконечной величины, как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо.

Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются неограниченно возрастающими."

Сегодняшние студенты на любом курсе математического анализа учатся обращаться с бесконечностью именно в таких терминах.

Типичной задачей может быть: "докажите, что (nᶺ2+n)/nᶺ2 стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности".

Горе студенту, который решит задачу так "(∞ᶺ2+∞)/∞ᶺ2=∞/∞=1".

Но горе и тому, чье решение будет выглядеть следующим образом "(nᶺ2+n)/nᶺ2=1+1/n, теперь примем n=∞, тогда получим 1+1/∞=1+0=1", хотя это и бесспорно верно.

(Чтобы иметь право приводить такие небрежные доказательства, как представленные выше, вы должны доказать свою математическую состоятельность, пройдя путем извилистых, но вместе с тем неоспоримых вычислений.

После того, как вы постигли премудрости сложного пути, без недомолвок, никто не будет возражать, если вы воспользуетесь более простыми способами!)

Такой взгляд на бесконечность восходит к Аристотелю и называется потенциальной бесконечностью.

То есть мы не утверждаем, что существует актуальная бесконечность, но перефразируем наши утверждения таким образом, что используемые нами величины при необходимости могут быть сколь необходимо большими.

Мы больше не говорим о чудесной фляге, в которой действительно содержится бесконечное количество объектов, а лишь утверждаем, что сколько бы объектов мы оттуда не достали, внутри всегда останется еще один.

Различия между этими двумя формулировками могут показаться не очевидными, но на философском уровне обновленный вариант позволяет избежать вопроса: "Сколько же объектов во фляге?"

Кризис сходимости!

Однако, все еще находились смельчаки, заигрывающие с идеей актуальной бесконечности, то есть рассуждающие о бесконечном множестве не как о последовательности элементов 1,2,3, ..., которая в принципе может быть продлена за пределы любой выбранной точки, но как о законченном бесконечном целом.

Одним из первых здесь был Бернардо Больцано, написавший в 1851 году книгу под названием "Парадоксы бесконечного".

Но основной интерес Больцано заключался в том, чтобы обеспечить математический анализ прочным фундаментом, и он пришел к выводу, что для этой цели в актуальной бесконечности нет необходимости.

А в конце XIX века в математике назрело что-то вроде кризиса.

Не причудливый философский парадокс, а приземленный кризис практического инструментария, используемого математиками в ежедневной работе. Источником его была теория рядов Фурье.

Ряд Фурье выглядят подобным образом:

f(x)=cosx+1/2cos2x+1/3cos3x+... , он был введен в использование Джозефом Фурье в его работе по распространению тепла.

Вопрос в том, при каких условиях такой ряд будет сходиться? Различные математики получали противоположные ответы на этот вопрос.

Ужасный беспорядок царил в этом вопросе, потому что слишком многие занимались поиском правдоподобных "физических" объяснений, вместо того чтобы обратиться к искусной, основанной на логике математике.

Проблема требовала скорейшего решения.

По сути, ответ состоит в том, что что-то утверждать о сходимости ряда Фурье можно если только множество значений х, на которых сама функция f ведет себя нехорошо, не слишком плохое.

Так что математики были вынуждены внимательно изучить глубинную структуру множества действительных чисел.

В 1874 эта проблема привела Георга Кантора к разработке теории множеств, эту тему он развивал на протяжении последующих лет.

Его яркие, оригинальные идеи привлекли внимание и у некоторых вызвали восхищение, тогда как его более консервативные современники не скрывали своей неприязни.

Кантор сделал две вещи.

Он основал теорию множеств (без которой современные математики лишились бы дара речи, настолько фундаментальным языком математики она стала), а в процессе этого он обнаружил, что некоторые бесконечности больше, чем другие.

Рай Кантора.

Начал он с того, что сделал достоинством то, что все считали недостатком.

Он определил бесконечное множество, как множество, которое может быть поставлено во взаимнооднозначное соответствие с частью самого себя (подмножеством).

Два множество эквивалентны, также говорят имеют одинаковую мощность, или одинаковое кардинальное число, если они могут быть поставлены во взаимнооднозначное соответствие друг с другом.

Самое маленькое бесконечное множество сравнимо с множеством натуральных чисел {0, 1, 2, 3, ...}

Его мощность обозначается символом א0 (алеф-0), и это наименьшее кардинальное число.

Оно обладает различными странными свойствами, как то א0 + 1= א0 ,א0 + א0 = א0 ,א02 = א0, но так или иначе все эти странные свойства образуют стройную версию арифметики для бесконечных чисел.

(А что, вы ожидали, произойдет при удвоении бесконечного множества?) Любое множество мощности א0 называется счетным множеством.

Примерами таких множеств являются отрицательные целые числа, все целые числа, четные и нечетные числа, их квадраты, кубы, простые числа и, что более неожиданно, рациональные числа (т.е. простые дроби).

Мы привыкли к мысли, что рациональных чисел много больше, чем целых, потому что между двумя целыми числами расстояние больше, в то время как рациональные числа распределены на числовой прямой более плотно.

Но это интуитивное понимание ошибочно, потому что оно не учитывает, что при взаимнооднозначном соответствии не важен порядок, в котором точки расположены на числовой прямой.

Рациональное число p/q определяется парой целых чисел (p, q), таким образом мощность множества рациональных чисел א02.

Но это, как мы видели выше, равно א0.

После некоторого количества подобных манипуляций начинаешь задаваться вопросом, а все ли бесконечные множества - счетные.

Может, Сальвиати был прав и א0 - только лишь вычурный символ для обозначения ∞.

Кантор показал, что это не так.

Множество действительных чисел - несчетное.

Есть бесконечность бОльшая, чем бесконечность натуральных чисел! Доказательство этого очень оригинальное.

Грубо говоря, идея доказательства в том, что множество действительных чисел полагается счетным, а затем логическими рассуждениями показывается противоречивость такого предположения.

Поставим каждому натуральному числу в соответствие десятичную дробь. И пронумеруем такие дроби соответствующим образом, т.е. первая - соответствует единице натурального ряда, вторая - двойке натурального ряда и т.д.

А теперь сформируем новую десятичную дробь следующим образом: ее первая цифра после запятой отличается от первой цифры после запятой в первой дроби нашего списка, вторая ее цифра после запятой отличается от второй цифры после запятой во второй дроби нашего списка и, в общем виде, n-я цифра после запятой в новой дроби отличается от n-й цифры после запятой в n-й дроби нашего списка.

Построенная таким образом, эта новая дробь отличается от любой дроби в нашем списке, но это невозможно, т.к. наш список полностью соответствует натуральному ряду.

Это "диагональный метод" Кантора, и со времени его первого использования, он продолжает применяться при решении самых разных важных задач.

На основании этого Кантор смог убедительно доказать существование трансцендентных чисел.

Напомним, что число называется трансцендентным, если оно не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами.

Примерами трансцендентных чисел являются число π = 3,14159... и основание натурального логарифма e = 2,71828 …, хотя, надо признать, что математикам потребовалось много лет, чтобы доказать эту гипотезу.

В 1873 Шарль Эрмит доказал, что е - трансцендентное число.

О степени сложности такого доказательства говорят строки, написанные самим Шарлем Эрмитом: "Я не осмеливаюсь приступить к доказательству трансцендентность числа π.

Если кто-то преуспеет в этом, то не будет человека счастливее меня, но, смею вас заверить, мой дорогой друг, такое доказательство потребует очень серьезных усилий."

В 1882 году Фердинанд Линдеман преуспел в попытке адаптации метода Эрмита к доказательству трансцендентности числа π.

Кантор показал, что для доказательства существования трансцендентных чисел не требуются все эти чрезвычайно сложные теоремы. Он просто продемонстрировал, что множество алгебраических чисел - счетно.

А так как все множество действительных чисел, куда входят и алгебраические, - несчетно, значит, должны существовать и неалгебраические числа.

Конец доказательства (которое по сути своей тривиально); публику переполняет недоверие.

Вообще, из доказательства Кантора следует еще больше: оно показывает, что множество трансцендентных чисел - несчетно! Трансцендентных чисел больше, чем алгебраических, и доказать это вы можете, даже не приведя примера ни одного такого числа.

Наверное, это больше походило на фокус, чем на математику.

Даже у Кантора были моменты сомнений.

После трех лет попыток показать обратное, Кантор доказал, что n-мерное пространство содержит такое же количество элементов, как и одномерное пространство, тогда он написал: "Я это вижу, но не верю в это."

Недоверие остальных же было еще большим, например, Поль Дюбуа-Реймон говорил: "Это противоречит всякому здравому смыслу."

Были и такие парадоксы, для разрешения которых требовался не только творческий подход, но и изрядная доля интуиции.

Например, Кантор показал, что для любого кардинального числа существует большее кардинальное число.

То есть существует бесконечно много бесконечностей.

А теперь попробуем представить себе кардинальное число множества кардинальных чисел.

Оно должно быть больше любого кардинального числа, в том числе и самого себя! Эта проблема со временем была решена путем сужения определения "множества". Однако, даже сейчас у такого подхода есть противники.

Математическое сообщество разделилось в оценке значимости идей Кантора.

Леопольд Кронекер в течение десятилетия публично и очень активно критиковал Кантора. Из-за чего у последнего был нервный срыв.

Но у Кронекера была очень жесткая философия математики - "Бог создал целые числа, все остальное - работа человека" - и он одобрил бы теории Кантора с той же вероятностью, с которой Республиканская партия занялась бы коллективным хозяйством на Среднем Западе.

Пуанкаре говорил, что следующие поколения будут смотреть на идеи Кантора, как на "болезнь, от которой они излечились".

Герман Вейль считал Канторовскую бесконечность бесконечности "туманом в тумане".

В то же время, Адольф Гурвиц и Жак Адамар нашли значимое применение теории множеств в математическом анализе, рассказав об этом на престижной международной конференции.

Гильберт, ведущий математик своего времени, сказал в 1926 году: "Никто не может изгнать нас из рая, созданного Кантором", а его идеи считал "самым удивительным результатом математической мысли".

Как и со всеми поразительно незаурядными идеями, только те, кто были готовы сделать усилие, чтобы понять и найти им применение в собственной работе, оценили их по достоинству.

Комментаторы в кулуарах, самодовольные скептики, пусть их чувство собственной важности возьмет верх над их воображением и вкусом.

Сегодня плоды трудов Кантора сформировали основу для всей математики.

Внимание! Этот перевод, возможно, ещё не готов.
Его статус: перевод редактируется

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/35417/126982

Переводчики: Mariha, Irina73, Junazzz, QuiGonKun