Ян Стюарт из "Чудесная фляга"

Оглавление

Сбросить всё

←

→

Английский оригинал	Перевод на русский
Сожалеем, но текст оригинала доступен только зарегистрированным пользователям.	Ян Стюарт из "Чудесная фляга" Irina73 07.02.14 в 21:55 0
	■ Бесконечностью часто злоупотребляют в риторических высказываниях ("Моцарт - бесконечно лучший композитор, чем...", "Брадман был бесконечно лучшим игроком в крикет, чем...", "Нет он не лучший, он бесконечно лучше). Irina73 10.02.14 в 16:06 0
	Бесконечность означает нечто гораздо более точное, чем это. Irina73 10.02.14 в 16:06 0
	Ян Стюарт - современный математик, продолжающий традиции Ланселота Хогбена и Мартина Гарднера в качестве распространителя чудес математического воображения. QuiGonKun 28.07.14 в 07:57 0
	В ‘Чудесной фляге’ он рассматривает пугающую идею бесконечности самым тщательным образом, как это делают математики, и объясняет, как великие математики стремились ее приручить. ■ Irina73 29.07.14 в 14:18 0
	Возьмите любую математическую книгу или журнал, и вы, вероятно, прочтете не более двух страниц в ней, пока вы на полной скорости не врежетесь в бесконечность. QuiGonKun 11.01.15 в 14:38 0
	Для примера я случайным образом выбрал несколько книг с собственной полки. На второй строке предисловия к «Высшей Арифметике» Гарольда Дэвенпорта речь идет о "натуральных числах 1, 2, 3 …", где многоточие подразумевает, что список натуральных чисел - бесконечен. Mariha 17.01.15 в 10:38 0
	На второй странице "Вычислительной математики" Ли Джонсона и Дина Риса обращаются к бесконечным последовательностям в контексте экспоненциальной функции. Mariha 17.01.15 в 10:49 0
	Б.А.Ф. Верфритц "Бесконечные линейные группы" - надо ли что-то добавлять? Фраза на первой странице "Нелинейной динамики и турбулентности" под редакторством Г. И. Баренблатта, Ж. Йосса и Д. Джозефа "уравнения Навье-Стокса или конечномерная аппроксимация Галеркина" аккуратно подводит нас к тому, что в общем виде математики рассматривают систему уравнений Навье-Стокса как бесконечномерный объект. Mariha 17.01.15 в 11:43 0
	На странице 434 "Выигрышных стратегий математических игр" Элвина Берлекампа, Джона Конвея и Ричарда Гая говорится об игре с позициями ∞, ±1, ±4, где ∞ - общепринятый символ для обозначения бесконечности. Mariha 17.01.15 в 12:12 0
	Вы можете возразить, что страница 434 не вписывается в мое утверждение, но это шестая страница второй части, а первую часть я не поверял. Mariha 17.01.15 в 12:14 0
	Бесконечность, как сказали Филип Дэвис и Рубен Херш, - "чудесная фляга математики". Mariha 17.01.15 в 12:30 0
	А чудесна она из-за своей неистощимости. Mariha 17.01.15 в 12:31 0
	Уберите один элемент из бесконечной фляги и у вас останется, нет, не на один элемент меньше, а ровно такое же их количество. Mariha 17.01.15 в 12:32 0
	Именно такие парадоксы порождали настороженность многих наших предшественников в отношении дискуссий, затрагивающих бесконечность. Mariha 17.01.15 в 12:37 0
	Но привлекательность бесконечности слишком велика. Mariha 17.01.15 в 12:38 0
	Она является поразительным местом, в котором можно избавиться от неудобных сущностей. Mariha 17.01.15 в 12:52 0
	Количество математических доказательств, достигших цели за счет устремления всех сложностей в бесконечность, после чего остается только наблюдать, как они растворяются в ней, само по себе почти бесконечно. Mariha 17.01.15 в 12:57 0
	Но что мы в действительности подразумеваем под бесконечностью? Является она сумасбродным вздором или ее можно использовать? Существуют ли в действительности математические бесконечности или это искусные подделки, волк бесконечности в бесконечной овечьей шкуре? Mariha 17.01.15 в 13:05 0
	Отель Гильберта. Mariha 17.01.15 в 13:09 0
	Если вы сервируете стол, и на каждого гостя за столом полагается один нож и одна вилка, то вы знаете, что ножей на столе будет ровно столько же, сколько вилок. Mariha 17.01.15 в 13:11 0
	Это верно независимо от того, планируете вы романтический ужин на двоих или банкет на 2000 персон. Вам не обязательно знать сколько ожидается гостей, чтобы быть уверенным, что количество вилок и ножей будет равным. Mariha 17.01.15 в 13:16 0
	Это наблюдение - краеугольный камень всей концепции чисел. Mariha 17.01.15 в 13:19 0
	Говорят, что два множества находятся во взаимно-однозначном соответствии, если каждому элементу первого множества соответствует уникальный элемент второго множества, как верно и обратное. Mariha 17.01.15 в 13:21 0
	Множества, между которыми может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, содержат одинаковое количество элементом. Mariha 17.01.15 в 13:22 0
	Однако, если рассматривать бесконечные множества, возникает парадокс. Mariha 17.01.15 в 13:23 0
	Например, Гильберт описал некий воображаемый отель, имеющий бесконечное количество комнат, пронумерованных 1, 2, 3 ... Mariha 17.01.15 в 13:24 0
	Однажды, в то время как отель полностью заполнен, в него прибывает одинокий гость, желающий снять номер. Mariha 17.01.15 в 13:27 0
	Предприимчивый менеджер отеля переселяет каждого из гостей в комнату со следующим номером. Так, постоялец из комнаты 1 переселяется в комнату 2, из комнаты 2 - в комнату 3 и так далее. Mariha 17.01.15 в 13:30 0
	После того, как все постояльцы переселены, комната с номером 1 остается свободной для новоприбывшего гостя. На следующий день прибывает поезд Бесконечных путешествий, привезший бесконечное количество новых гостей. Mariha 17.01.15 в 13:36 0
	В этот раз менеджер переселяет постояльца из комнаты 1 в комнату 2, из комнаты 2 - в комнату 4, из комнаты 3 - в комнату 6, ..., из комнаты n - в комнату 2n. Mariha 17.01.15 в 13:37 0
	Это освобождает все комнаты с нечетными номерами, так что пассажир поезда с номером 1 может занять комнату 1, с номером 2 - комнату 3, с номером 3 - комнату 5 и, в общем виде, с номером n - комнату 2n-1. Mariha 17.01.15 в 13:38 0
	И даже если прибудет бесконечное количество бесконечных поездов с туристами, таким образом все смогут разместиться. Mariha 17.01.15 в 13:41 0
	Подобные парадоксы возникали на протяжении всей истории математики. Mariha 17.01.15 в 13:42 0
	Прокл, написавший комментарии к работам Евклида примерно в 450 году нашей эры, отметил, что диаметр делит круг на два полукруга, таким образом возможных полукругов должно быть в два раза больше, чем возможных диаметров. Mariha 17.01.15 в 14:04 0
	Философы средних веков осознали, что две окружности с общим центром могут быть сопоставлены друг другу путем сопоставления принадлежащих им точек, лежащих на одной линии радиуса. Таким образом, меньшая окружность состоит из такого же количества точек, что и большая. Mariha 17.01.15 в 14:09 0
	В книге Галилея "Математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки" проницательный Сальвиати обращает внимание на ту же проблему: "Если я спрошу вас, каково число квадратов чисел, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень - более одного квадрата. Но в случае если я спрошу, далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что ᴏʜо равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какᴏᴦᴏ-либо квадрата; установив ϶ᴛᴏ, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются ᴃϲᴇ числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как большая часть их не является квадратами” Mariha 17.01.15 в 14:21 0	+2
	На что Симпличио растерянно отвечает: "Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такᴏᴦᴏ положения?" Вынуждая Сальвиати признать: "Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что поскольку бесконечно много чисел вообще, бесконечно много квадратов, бесконечно много корней, то ни множество квадратов не меньше множества всех чисел, ни последнее не больше первого; в конечном выводе — свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеют места там, где дело идёт о бесконечности, и применимы только к конечным числам." Mariha 25.01.15 в 17:58 0	+1
	Замаскированная бесконечность Mariha 25.01.15 в 18:08 0
	Галилей объясняет подобные парадоксы тем, что бесконечность ведет себя отлично от каких бы то ни было других сущностей, и лучше бы её избегать. Mariha 25.01.15 в 18:12 0
	Но иногда избежать ее очень трудно. Mariha 25.01.15 в 18:12 0
	Наиболее остро проблема бесконечности встает с развитием математического анализа, при появлении бесконечных последовательностей. Mariha 25.01.15 в 18:16 0
	Например, какова будет сумма 1+1/2+1/4+1/8+1/16+...? Mariha 25.01.15 в 18:17 0
	Легко заметить, что с возрастанием числа слагаемых сумма будет все ближе и ближе к 2. Mariha 25.01.15 в 18:18 0
	Это ведет к утверждению, что бесконечная сумма такого ряда будет равна 2. Mariha 25.01.15 в 18:27 0
	Ньютон сделал бесконечные ряды основой его дифференциального и интегрального исчисления. Mariha 25.01.15 в 18:32 0
	Так что вопроса о логике бесконечных рядов не избежать. Mariha 25.01.15 в 18:34 0
	А ведь они сами по себе парадоксальны. Mariha 25.01.15 в 18:39 0
	Например, чему равняется выражение 1-1+1-1+1-1+...? Mariha 25.01.15 в 18:41 0
	Если записать его в таком виде (1-1)+(1-1)+(1-1)+..., то, очевидно, 0. Mariha 25.01.15 в 18:42 0

Следующая страница →