Готовый перевод Richard Dawkins The Oxford Book of Modern Science Writing / Ричард Докинз Оксфордская книга публикаций современной науки: G. H. Hardy from A MATHEMATICIAN’S APOLOGY / Г.Х. Харди из АПОЛОГИИ МАТЕМАТИКА

Г.Х. Харди из АПОЛОГИИ МАТЕМАТИКА

Когда мы учились на первом курсе Оксфорда, мой приятель шутник, изучавший математику, рассказал мне историю о некоем математике-теоретике, жаждущем придумать теорему, которая была бы абсолютно бесполезна.

Но вечно найдется какой-нибудь зануда физик, который отыщет применение и такой теореме.

Г.Х. Харди, похоже, хотел того же. И даже, возможно, он и был героем этой истории.

Мы уже знакомы с этим эксцентричным математиком, неподражаемо описанным Чарльзом Сноу, а так же с чудесной историей, как Харди заметил и взрастил индийского вундеркинда от математики Рамануджана, который, к сожалению, умер молодым.

Вот перед нами сам Харди на закате своей жизни, стремящийся показать строгую красоту чистой математики.

Есть в этом "на закате жизни" особая боль: математики "выходят в тираж" в очень раннем возрасте. Сам Харди, один из величайших математиков своего поколения, с тоской констатировал этот факт:

"Я должен затронуть вопрос возраста, поскольку он чрезвычайно важен для математика.

Каждый математик обязан помнить, что математика, во много большей степени, чем любая другая наука или творческий процесс, это игра для молодых...

Взять, например, одного из трех величайших математиков.

Ньютон оставил математику в пятьдесят, а потерял к ней интерес много раньше. К своим сорока он, без сомнения, понял, что дни его величайших открытий прошли.

Ключевые свои теории, производная Ньютона и Закон всемирного тяготения, он сформулировал примерно в 1666, ему тогда было двадцать четыре...

Галуа умер в двадцать один, Абель в двадцать семь, Рамануджан в тридцать два, Риман в сорок.

Был один человек, самый главный труд которого появился много позже этого возраста. Важнейшая для дифференциальной геометрии статья Гаусса была опубликована, когда ему исполнилось пятьдесят (хотя основные тезисы он сформулировал за десять лет до этого).

Я не знаю примеров значимых математических открытий, сделанных человеком после пятидесяти.

Если человек средних лет охладевает и уходит из математики, то это не становится сколько-нибудь значимой потерей ни для математики, ни для него самого."

Так написано в "Апологии математика", изданной, когда Харди было 67 лет.

Дальнейшие отрывки из этой же книги.

К этому моменту уже понятно, если мы хотим хоть сколько-то продвинуться, я должен приводить примеры "настоящих" теорем математики. Теорем, которые каждый математик признает первостепенными.

И тут я оказываюсь буквально зажат в тиски.

С одной стороны, примеры, приведенные мной, должны быть предельно просты, понятны для читателя, у которого нет специальных математических знаний, не должны требовать длительных предварительных объяснений, а доказательство должно быть также прозрачно, как и формулировка теоремы.

Это условие исключает множество красивейших теорем Теории чисел, например, таких, как Теорема Ферма-Эйлера или Квадратичный закон взаимности.

С другой стороны, показанные мной теоремы должны быть примерами "высшей" математики, той математики, которой и занимаются профессионалы. А это исключает много вариантов, достаточно простых в объяснении, но непрозрачных с точки зрения логики и математической философии.

В таком случае врядли есть вариант лучше, чем обратиться к древним грекам.

Я сформулирую и докажу две из наиболее известных теорем древнегреческой математики.

Это "простые" теоремы. Простые как в формулировках, так и в доказателствах. Но нет никаких сомнений, что обе они - теоремы высшего уровня.

Каждая из них также оригинальна и значительна, как и во время открытия - две тысячи лет не сделали их сколько-нибудь хуже.

И наконец, любой неглупый читатель разберется и с формулировкой, и с доказательством в течение часа, как бы мал ни был его математический арсенал.

1. Первая - это доказательство бесконечности множества простых чисел, сделанное Евклидом*.

Простые числа - это множество чисел (обозначим его (А)) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

которые делятся без остатка только на единицу или само себя**.

Так, 37 и 317 - простые числа.

Простые числа - кирпичики, из которых посредством умножения получаются все остальные числа: например, 666=2*3*3*37. Каждое число, которое само по себе не является простым, можно без остатка разделить на как минимум одно простое число (обычно таких простых чисел, конечно, несколько). Мы докажем, что множество простых чисел бесконечно, то есть, что последовательность (А) никогда не закончится.

Предположим, что это не так. Тогда наша последовательность 2, 3, 5, ..., Р - конечна (а Р - наибольшее простое число). Далее, в рамках этого предположения введем число Q, которое получается по формуле Q=(2*3*5*...*Р)+1.

Очевидно, что Q не делится без остатка ни на одно из чисел последовательности 2, 3, 5, ..., Р, так как при делении на любое из этих чисел в остатке всегда остается 1.

Но если число не простое, то оно по определению должно делиться без остатка на какое-то простое число, а значит существует простое число (это может быть и само Q) больше, чем все элементы нашей последовательности.

Это противоречит нашей гипотезе, что нет простого числа больше, чем Р. А значит гипотеза неверна.

Мы использовали метод доказательства от противного, который так любил Эвклид, - одно из красивейших оружий математика***. Этот гамбит гораздо более законченный, чем любой шахматный гамбит: в шахматах игрок ради победы может пожертвовать пешкой или даже более серьезной фигурой, в то время как математик ради победы жертвует всей проведенной работой.

2. Мой второй пример - это доказательство Пифагора****, что √2 является "иррациональным" числом.

Рациональные числа - это простые дроби вида a/b, где a и b являются целыми числами. Мы можем считать, что a и b не имеют общего делителя. Ведь даже если бы он был, мы всегда можем его сократить.

Утверждение, что √2 - иррациональное число, равнозначно утверждению
а) что 2 нельзя представить в виде a^2/b^2. Или, что то же самое,
b) что не существует таких целых чисел a и b, не имеющих общего делителя, для которых было бы верно равенство (В) a^2=2*b^2.

Это теорема чистой арифметики, доказательство которой не потребует вообще никаких знаний, что же такое иррациональные числа, и никаким образом не будет зависть от их свойств.

Здесь мы также воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что существуют такие целые числа a и b, не имеющие общего делителя, для которых равенство (В) истино. Отсюда следует, что а^2 - четное число (поскольку 2*b^2 делится на два), а отсюда следует, что и а число четное (поскольку нечетное число, возведенное в квадрат, также будет оставаться нечетным).

Если а число четное, значит (С) а=2*с, где с некотороое целое число. Тогда 2*b^2=a^2=4*c^2 или b^2=2*c^2.

Отсюда следует, что b^2 - четное, а значит (руководствуясь той же логикой, что и выше) b тоже четное. Таким образом и а, и b четные, а значит, имеют общий делитель - 2. Это противоречит нашему предположению, а значит предположение неверно.

А уже из этой теоремы вытекает, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (их соотношение не является рациональным числом, не существует такой единицы измерения, в которой и диагональ, и сторона являлись бы целыми числами). Потому как если мы возьмем за единицу измерения длинну стороны квадрата, а его диагональ будет длинны d, то из очень известной теоремы, также приписываемой Пифагору*****, получим d^2=1^2+1^2=2, таким образом d не может быть рациональным числом.

Я мог бы привести множество красивых теорем из Теории чисел, формулировки которых сможет понять любой. Например, Основная теорема арифметики, утверждающая, что любое целое число можно представить в виде произведения просты чисел, причём такое представление единственно. Так 666=2*3*3*37, и нет другого варианта разложения на множители, неверно будет 666=2*11*29 или 13*89=17*73 (мы может это видеть и не производя умножение). Эта теорема, как следует из её названия, является основой высшей арифметики, но доказательство её, хотя оно и не "сложное", потребует некоторых предварительных объяснений и может показаться утомительным читателям, не связанным с математикой.

Еще одна известная и красивая теорема - Теорема Ферма-Эйлера. Простые числа (если мы исключим 2) могут быть поделены на две группы: числа 5, 13, 17, 29, 37, 41,... которые при делении на 4 в остатке дают 1, и числа 3, 7, 11, 19, 23, 31,... которые в остатке дают 3.

Все простые числа из первой группы и только из первой группы могут быть представлены в виде суммы квадратов двух целых чисел. Например:

5=1^2+2^2, 13=2^2+3^2,

17=1^2+4^2, 29=2^2+5^2;

но 3, 7, 11 и 19 невозможно выразить таким образом (что читатель может проверить опытным путем).

Это теорема Ферма-Эйлера, которая справедливо считается одной из красивейших теорем арифметики.

К сожалению, у нее нет доказательтва доступного для понимания, если только вы не профессиональный математик.

В Теории множеств есть прекрасные теоремы, такая как теорема Кантора о "несчетности" континуума.

Но с ней трудность противоположного характера.

При знании терминов, доказательство теоремы достаточно просто. Но для того, чтобы понять суть теоремы, потребуются значительные предварительные объяснения.

Так что я остановлюсь на тех примерах, которые описал выше.

Они являются своебразной проверкой: читатель, который не оценит их красоту, вряд ли оценит что бы то ни было в математике.

Я говорил, что математик выстраивает систему размышлений. А критериями для оценки его системы должны служить красота и значимость.

И я сомневаюсь, что те читатели, кто поняли обе, приведенные мной теоремы, станут оспаривать тот факт, что они удовлетворяют обоим критериям.

* Начала. Книга IX, 20. Настоящее авторство многих теорем в "Началах" остается под сомнением. Однако, нет причин полагать, что автором именно этой теоремы не является Евклид.

** Существуют технические причины для того, чтобы не включать единицу в множество простых чисел.

*** Доказательство может быть произведено так, чтобы избежать доказательства от противного. И логики некоторых школ предпочли бы, чтобы так и было сделано.

**** Доказательство традиционно приписывают Пифагору, в любом случае это результат его школы. Теорема в намного более обобщенном виде встречается у Евклида (Начала. Книга IX).

***** Евклид. Начала. Книга I, 47.

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/35417/126993

Переводчики: Mariha