Г.Х. Харди из АПОЛОГИИ МАТЕМАТИКА

Оглавление

Сбросить всё

←

→

Английский оригинал	Перевод на русский
Сожалеем, но текст оригинала доступен только зарегистрированным пользователям.	Г.Х. Харди из АПОЛОГИИ МАТЕМАТИКА Mariha 05.01.13 в 00:26 0
	Когда мы учились на первом курсе Оксфорда, мой приятель шутник, изучавший математику, рассказал мне историю о некоем математике-теоретике, жаждущем придумать теорему, которая была бы абсолютно бесполезна. Mariha 05.01.13 в 00:23 0
	Но вечно найдется какой-нибудь зануда физик, который отыщет применение и такой теореме. Mariha 05.01.13 в 00:26 0
	Г.Х. Харди, похоже, хотел того же. И даже, возможно, он и был героем этой истории. Mariha 05.01.13 в 00:31 0
	Мы уже знакомы с этим эксцентричным математиком, неподражаемо описанным Чарльзом Сноу, а так же с чудесной историей, как Харди заметил и взрастил индийского вундеркинда от математики Рамануджана, который, к сожалению, умер молодым. Mariha 05.01.13 в 00:52 0
	Вот перед нами сам Харди на закате своей жизни, стремящийся показать строгую красоту чистой математики. Mariha 05.01.13 в 00:58 0
	Есть в этом "на закате жизни" особая боль: математики "выходят в тираж" в очень раннем возрасте. Сам Харди, один из величайших математиков своего поколения, с тоской констатировал этот факт: Mariha 05.01.13 в 01:21 0
	"Я должен затронуть вопрос возраста, поскольку он чрезвычайно важен для математика. Mariha 05.01.13 в 01:24 0
	Каждый математик обязан помнить, что математика, во много большей степени, чем любая другая наука или творческий процесс, это игра для молодых... Mariha 05.01.13 в 01:40 0
	Взять, например, одного из трех величайших математиков. Mariha 05.01.13 в 01:45 0
	Ньютон оставил математику в пятьдесят, а потерял к ней интерес много раньше. К своим сорока он, без сомнения, понял, что дни его величайших открытий прошли. Mariha 05.01.13 в 01:49 0
	Ключевые свои теории, производная Ньютона и Закон всемирного тяготения, он сформулировал примерно в 1666, ему тогда было двадцать четыре... Mariha 05.01.13 в 02:00 0
	Галуа умер в двадцать один, Абель в двадцать семь, Рамануджан в тридцать два, Риман в сорок. Mariha 05.01.13 в 02:01 0
	Был один человек, самый главный труд которого появился много позже этого возраста. Важнейшая для дифференциальной геометрии статья Гаусса была опубликована, когда ему исполнилось пятьдесят (хотя основные тезисы он сформулировал за десять лет до этого). Mariha 05.01.13 в 02:18 0
	Я не знаю примеров значимых математических открытий, сделанных человеком после пятидесяти. Mariha 05.01.13 в 02:24 0
	Если человек средних лет охладевает и уходит из математики, то это не становится сколько-нибудь значимой потерей ни для математики, ни для него самого." Mariha 05.01.13 в 02:27 0
	Так написано в "Апологии математика", изданной, когда Харди было 67 лет. Mariha 05.01.13 в 02:31 0
	Дальнейшие отрывки из этой же книги. Mariha 05.01.13 в 02:31 0
	К этому моменту уже понятно, если мы хотим хоть сколько-то продвинуться, я должен приводить примеры "настоящих" теорем математики. Теорем, которые каждый математик признает первостепенными. Mariha 05.01.13 в 09:04 0
	И тут я оказываюсь буквально зажат в тиски. Mariha 05.01.13 в 09:08 0
	С одной стороны, примеры, приведенные мной, должны быть предельно просты, понятны для читателя, у которого нет специальных математических знаний, не должны требовать длительных предварительных объяснений, а доказательство должно быть также прозрачно, как и формулировка теоремы. Mariha 05.01.13 в 09:18 0
	Это условие исключает множество красивейших теорем Теории чисел, например, таких, как Теорема Ферма-Эйлера или Квадратичный закон взаимности. Mariha 05.01.13 в 09:26 0
	С другой стороны, показанные мной теоремы должны быть примерами "высшей" математики, той математики, которой и занимаются профессионалы. А это исключает много вариантов, достаточно простых в объяснении, но непрозрачных с точки зрения логики и математической философии. Mariha 05.01.13 в 09:42 0
	В таком случае врядли есть вариант лучше, чем обратиться к древним грекам. Mariha 05.01.13 в 09:48 0
	Я сформулирую и докажу две из наиболее известных теорем древнегреческой математики. Mariha 05.01.13 в 09:50 0
	Это "простые" теоремы. Простые как в формулировках, так и в доказателствах. Но нет никаких сомнений, что обе они - теоремы высшего уровня. Mariha 05.01.13 в 09:54 0
	Каждая из них также оригинальна и значительна, как и во время открытия - две тысячи лет не сделали их сколько-нибудь хуже. Mariha 05.01.13 в 10:01 0
	И наконец, любой неглупый читатель разберется и с формулировкой, и с доказательством в течение часа, как бы мал ни был его математический арсенал. Mariha 05.01.13 в 10:06 0
	1. Первая - это доказательство бесконечности множества простых чисел, сделанное Евклидом*. Mariha 05.01.13 в 10:08 0
	Простые числа - это множество чисел (обозначим его (А)) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... Mariha 05.01.13 в 10:11 0
	которые делятся без остатка только на единицу или само себя**. Mariha 05.01.13 в 10:15 0
	Так, 37 и 317 - простые числа. Mariha 05.01.13 в 10:16 0
	Простые числа - кирпичики, из которых посредством умножения получаются все остальные числа: например, 666=233*37. Каждое число, которое само по себе не является простым, можно без остатка разделить на как минимум одно простое число (обычно таких простых чисел, конечно, несколько). Мы докажем, что множество простых чисел бесконечно, то есть, что последовательность (А) никогда не закончится. Mariha 05.01.13 в 10:31 0
	Предположим, что это не так. Тогда наша последовательность 2, 3, 5, ..., Р - конечна (а Р - наибольшее простое число). Далее, в рамках этого предположения введем число Q, которое получается по формуле Q=(235...Р)+1. Mariha 05.01.13 в 10:44 0
	Очевидно, что Q не делится без остатка ни на одно из чисел последовательности 2, 3, 5, ..., Р, так как при делении на любое из этих чисел в остатке всегда остается 1. Mariha 05.01.13 в 10:46 0
	Но если число не простое, то оно по определению должно делиться без остатка на какое-то простое число, а значит существует простое число (это может быть и само Q) больше, чем все элементы нашей последовательности. Mariha 05.01.13 в 10:52 0
	Это противоречит нашей гипотезе, что нет простого числа больше, чем Р. А значит гипотеза неверна. Mariha 05.01.13 в 10:53 0
	Мы использовали метод доказательства от противного, который так любил Эвклид, - одно из красивейших оружий математика***. Этот гамбит гораздо более законченный, чем любой шахматный гамбит: в шахматах игрок ради победы может пожертвовать пешкой или даже более серьезной фигурой, в то время как математик ради победы жертвует всей проведенной работой. Mariha 05.01.13 в 11:07 0
	2. Мой второй пример - это доказательство Пифагора****, что √2 является "иррациональным" числом. Mariha 05.01.13 в 11:19 0
	Рациональные числа - это простые дроби вида a/b, где a и b являются целыми числами. Мы можем считать, что a и b не имеют общего делителя. Ведь даже если бы он был, мы всегда можем его сократить. Mariha 05.01.13 в 11:25 0
	Утверждение, что √2 - иррациональное число, равнозначно утверждению а) что 2 нельзя представить в виде a^2/b^2. Или, что то же самое, b) что не существует таких целых чисел a и b, не имеющих общего делителя, для которых было бы верно равенство (В) a^2=2*b^2. Mariha 05.01.13 в 11:35 0
	Это теорема чистой арифметики, доказательство которой не потребует вообще никаких знаний, что же такое иррациональные числа, и никаким образом не будет зависть от их свойств. Mariha 05.01.13 в 11:38 0
	Здесь мы также воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что существуют такие целые числа a и b, не имеющие общего делителя, для которых равенство (В) истино. Отсюда следует, что а^2 - четное число (поскольку 2*b^2 делится на два), а отсюда следует, что и а число четное (поскольку нечетное число, возведенное в квадрат, также будет оставаться нечетным). Mariha 05.01.13 в 11:55 0
	Если а число четное, значит (С) а=2с, где с некотороое целое число. Тогда 2b^2=a^2=4c^2 или b^2=2c^2. Mariha 05.01.13 в 11:57 0
	Отсюда следует, что b^2 - четное, а значит (руководствуясь той же логикой, что и выше) b тоже четное. Таким образом и а, и b четные, а значит, имеют общий делитель - 2. Это противоречит нашему предположению, а значит предположение неверно. Mariha 05.01.13 в 12:00 0
	А уже из этой теоремы вытекает, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (их соотношение не является рациональным числом, не существует такой единицы измерения, в которой и диагональ, и сторона являлись бы целыми числами). Потому как если мы возьмем за единицу измерения длинну стороны квадрата, а его диагональ будет длинны d, то из очень известной теоремы, также приписываемой Пифагору*****, получим d^2=1^2+1^2=2, таким образом d не может быть рациональным числом. Mariha 05.01.13 в 12:14 0
	Я мог бы привести множество красивых теорем из Теории чисел, формулировки которых сможет понять любой. Например, Основная теорема арифметики, утверждающая, что любое целое число можно представить в виде произведения просты чисел, причём такое представление единственно. Так 666=23337, и нет другого варианта разложения на множители, неверно будет 666=21129 или 1389=17*73 (мы может это видеть и не производя умножение). Эта теорема, как следует из её названия, является основой высшей арифметики, но доказательство её, хотя оно и не "сложное", потребует некоторых предварительных объяснений и может показаться утомительным читателям, не связанным с математикой. Mariha 05.01.13 в 12:26 0
	Еще одна известная и красивая теорема - Теорема Ферма-Эйлера. Простые числа (если мы исключим 2) могут быть поделены на две группы: числа 5, 13, 17, 29, 37, 41,... которые при делении на 4 в остатке дают 1, и числа 3, 7, 11, 19, 23, 31,... которые в остатке дают 3. Mariha 05.01.13 в 12:31 0
	Все простые числа из первой группы и только из первой группы могут быть представлены в виде суммы квадратов двух целых чисел. Например: Mariha 05.01.13 в 12:33 0
	5=1^2+2^2, 13=2^2+3^2, Mariha 05.01.13 в 12:33 0

Следующая страница →