Готовый перевод String Theory for Dummies / Теория струн для «чайников»: Three Dimensions of Space

Три пространственных измерения

При рассмотрении нашего мира, он имеет три измерения — верх и низ, лево и право, назад и вперед.

Если вы предоставляете долготу, широту и высоту, вы можете определить любое местоположение на Земле, к примеру.

Прямая линия в пространстве: векторы

Расширяя идею декартовой геометрии, вы обнаружите, что есть возможность создать декартову сетку в трех измерения так же, как и в двух, что и показано на рисунке 13-3,

В такой сетке, вы можете определить объект, называемый вектором, который имеет и направление и длину.

В 3-мерном пространстве, каждый вектор определен тремя величинами.

Рисунок 13-3: Нужно три числа чтобы определить вектор (или местоположение) в трех измерениях.

Векторы могут, конечно же, существовать в одном, двух или более чем трех измерениях.

(Технически, вы можете даже иметь нуль-мерный вектор, хотя он всегда будет иметь нулевую длину и не иметь направления.

Математики называют такой случай "тривиальным".)

Рассмотрение пространства как содержащее последовательность прямых линий это вероятно одна из самых основных операций, которые можно производить в пространстве.

Одна из первых областей математики, которая фокусируется на изучении векторов называется линейной алгеброй, которая позволяет вам анализировать вектора и вещи, называемые векторными пространствами любой размерности.

(Более продвинутая математика может охватывать вектора более подробно и распространятся на нелинейные ситуации.)

Один из основных этапов работы с векторными пространствами является нахождение базиса для векторного пространства, способ определения того, как много векторов вам нужно чтобы определить любую точку во всем векторном пространстве.

Например, 5-мерное пространство имеет базис из пяти векторов.

Один из способов взглянуть на теорию суперструн это осознать, что направления струны, которая может двигаться, могут быть описаны только базисом из десяти различных векторов, так что теория описывает 10-мерное векторное пространство.

Скручивание 2-мерного пространства в трех измерениях: лента Мёбиуса

В классической книге Флатландия, главный герой квадрат (буквально — у него было четыре стороны одинаковый длинны), который обретает способность почувствовать три измерения.

Имея доступ к трем измерениям, вы можете выполнить действия на двумерной поверхности способами, которые кажутся неожиданными.

Двумерная поверхность может на самом деле быть скрученной таким образом, что она не имеет начала и края!

Наиболее известный случай этого, это лента Мебиуса, показанной на рисунке 13-4.

Лента Мебиуса была создана в 1858 немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом.

Рисунок 13-4: лента Мебиуса скручена так, что она имеет только одну непрерывную поверхность.

Вы можете создать свою собственную ленту Мебиуса, когда берете лист бумаги — что то на подобие длинной закладки — и скручиваете его наполовину.

Потом возьмите два края полоски бумаги и соедините их вместе.

Поместите карандаш по центру поверхности и нарисуйте линию вдоль всей длинны полоски без отрывания карандаша от бумаги.

Любопытная вещь происходит, когда вы продолжаете.

В конечном счете, без отрывания вашего карандаша от бумаги, линия рисуется на каждой стороне поверхности и в итоге встречает саму себя.

Для ленты Мебиуса не существует "обратной стороны", которая как-нибудь избежит линии карандаша.

Вы нарисовали линию вдоль всей формы без подъема вашего карандаша.

В математических терминах (и реальных, учитывая результат эксперимента с карандашом), лента Мебиуса имеет только одну поверхность.

Нет "внутри" и "снаружи" на ленте Мебиуса, это есть только на браслете.

Даже несмотря на то, что две формы могут выглядеть похоже, математически они очень разные сущности.

Лента Мебиуса все же имеет, ну естественно, край (или границу) с точки зрения ее ширины.

В 1882, немецкий математик Феликс Клейн расширил идею ленты Мебиуса чтобы создать бутылку Клейна: форма, которая не имеет внутренней и внешней поверхности, а также не имеет границ в любых направлениях.

Взгляните на рисунок 13-5, чтобы понять бутылку Клейна.

Если бы вы передвигались по "передней" стороне пути (обозначим как X), вы, в конечном счете, достигли бы "обратной" стороны этого пути (обозначим как O).

Рисунок 13-5: бутылка Клейна не имеет границы(края).

Если бы вы были муравьем, живущем на ленте Мебиуса, вы бы смогли передвигаться по ее длине и, в конечном счете, вернулись бы назад откуда начали.

Двигаясь по ширине, вы бы, в итоге, столкнулись бы с "краем света."

Муравей, живущий на бутылке Клейна, однако, смог бы идти в любом направлении, и если бы он шел достаточно долго, в конце концов, обнаружил бы себя с другой стороны, откуда начал.

(Передвижение по пути О в конечном счете ведет назад к Х.)

Различие между передвижением по бутылке Клейна и передвижением по сфере это то, что муравей не просто бы шел снаружи по бутылке Клейна, как это было бы в случае сферы, он прошел бы по обеим поверхностям, прям как в случае ленты Мебиуса.

Больше искривлений в трех измерениях: Неевклидова геометрия

Восхищение необыкновенной деформацией пространства в 1800х не было, пожалуй, нигде таким искренним как в создании неевклидовой геометрии, где математики начали исследовать новые типы геометрий, которые не были основаны на правилах изложенных более 2000 лет назад Евклидом.

Одна версия неевклидовой геометрии — риманова геометрия, но есть и другие, например проективная геометрия.

Причина создания неевклидовой геометрии лежит в самих евклидовых "Началах", в его "пятом постулате", который был гораздо сложнее, чем его первые четыре постулата.

Пятый постулат иногда называют аксиомой параллельности Евклида и, хотя он изложен довольно технически, одно следствие имеет важное значение для движущих сил теории струн: пара параллельных линий никогда не пересекаются.

И так, все это справедливо на плоской поверхности, но на сфере, например, две параллельных линии могут пересекаться и пересекаются.

Линии долготы — которые параллельны друг другу согласно определению Евклида — пересекаются у обоих полюсов (северного и южного).

Линии широты, которые также параллельны, не пересекаются вообще.

Математики не были уверены, что вообще значила "прямая линия" на окружности.

Одним из величайших математиков 1800х был Карл Фридрих Гаусс, тот, кто поменял свое внимание на идеи неевклидовой геометрии.

(Некоторые более ранние идеи по этому вопросу очень активно обсуждались на протяжении тех лет, например Николаем Лобачевским и Яношем Бо́йяи.)

Гаусс упустил значимость работы своего бывшего студента Бернхарда Римана.

Риман разработал способ как применить геометрию на изогнутой поверхности — область математики называемая Римановой геометрией.

Одно из следствий — что сумма углов треугольника не равна 180 градусам — это изображено на рисунка 13-6.

Рисунок 13-6: Иногда сумма углов треугольника не соответствует 180 градусам.

Математика искусства

Понимание и манипулирование пространством это главная особенность искусства, которое зачастую пытается отобразить 3-мерную реальность на 2-мерой поверхности.

Это, вероятно, наиболее примечательное в работе Пабло Пикассо и Ма́урица Корне́лиса Э́шера, где пространством манипулировали таким образом, что сама манипуляция является частью художественного посыла.

Большинство художников пытаются манипулировать пространством, таким образом, что это не заметно.

Один из наиболее распространенных примеров этого является перспектива, разработана в эпоху Возрождения, которая подразумевает создание образа, который соответствует способу, которым глаз воспринимает пространство и расстояние.

Параллельные железнодорожные пути соединяются у горизонта, хотя они никогда не соединяются

на самом деле.

На 2-мерной поверхности, основание для железнодорожных путей это треугольник, который, все же, по факту, имеет угол у линии горизонта.

Это определенно основа математической области неевклидовой геометрии, которая названа проективной геометрией, где вы берете одну 2-мерную поверхности и проектируете ее определенным математическим способом на вторую поверхность.

Между двумя пространствами существует точное соответствие 1-к-1, хотя они и выглядят совершенно по разному.

Два образа представляют различные математические взгляды на одинаковое физическое пространство — одно из них бесконечное пространство, а другое — конечное.

Когда Альберт Эйнштейн разработал общую теорию относительности как теорию о геометрии пространства-времени, оказалось, что Риманова геометрия была именно тем, что ему было нужно.

Внимание! Этот перевод, возможно, ещё не готов.
Его статус: перевод редактируется

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/38781/145422

Переводчики: Swarlz, Irina73