String Theory for Dummies / Теория струн для «чайников»: Three Dimensions of Space

Три измерения пространства

Swarlz 03.02.15 в 19:35

При рассмотрении нашего мира, он имеет три измерения — верх и низ, лево и право, назад и вперед.

Swarlz 03.02.15 в 19:40

Если вы предоставляете долготу, широту и высоту, вы можете определить любое местоположение на Земле, к примеру.

Swarlz 03.02.15 в 19:44

Прямая линия в пространстве: векторы

Swarlz 03.02.15 в 19:44

Расширяя идею декартовой геометрии, вы обнаружите, что есть возможность создать декартову сетку в трех измерения так же, как и в двух, что и показано на рисунке 13-3,

Swarlz 05.02.15 в 20:59

В такой сетке, вы можете определить объект, называемый вектором, который имеет и направление и длину.

Swarlz 05.02.15 в 21:00

В 3-мерном пространстве, каждый вектор определен тремя величинами.

Swarlz 05.02.15 в 21:01

Рисунок 13-3: Нужно три числа чтобы определить вектор (или местоположение) в трех измерениях.

Swarlz 05.02.15 в 21:03

Векторы могут, конечно же, существовать в одном, двух или более чем трех измерениях.

Swarlz 05.02.15 в 21:04

(Технически, вы можете даже иметь нуль-мерный вектор, хотя он всегда будет иметь нулевую длину и не иметь направления.

Swarlz 05.02.15 в 21:05

Математики называют такой случай "тривиальным".)

Swarlz 05.02.15 в 21:10

Рассмотрение пространства как содержащее последовательность прямых линий это вероятно одна из самых основных операций, которые можно производить в пространстве.

Swarlz 05.02.15 в 21:20

Одна из первых областей математики, которая фокусируется на изучении векторов называется линейной алгеброй, которая позволяет вам анализировать вектора и вещи, называемые векторными пространствами любой размерности.

Swarlz 05.02.15 в 21:23

(Более продвинутая математика может охватывать вектора более подробно и распространятся на нелинейные ситуации.)

Swarlz 05.02.15 в 21:26

Один из основных этапов работы с векторными пространствами является нахождение базиса для векторного пространства, способ определения того, как много векторов вам нужно чтобы определить любую точку во всем векторном пространстве.

Swarlz 05.02.15 в 21:30

Например, 5-мерное пространство имеет базис из пяти векторов.

Swarlz 05.02.15 в 21:31

Один из способов взглянуть на теорию суперструн это осознать, что направления струны, которая может двигаться, могут быть описаны только базисом из десяти различных векторов, так что теория описывает 10-мерное векторное пространство.

Swarlz 05.02.15 в 21:38

Скручивание 2-мерного пространства в трех измерениях: лента Мёбиуса

Swarlz 05.02.15 в 21:40

В классической книге Флатландия, главный герой квадрат (буквально — у него было четыре стороны одинаковый длинны), который обретает способность почувствовать три измерения.

Swarlz 08.02.15 в 16:58

Имея доступ к трем измерениям, вы можете выполнить действия на двумерной поверхности способами, которые кажутся неожиданными.

Swarlz 08.02.15 в 16:59

Двумерная поверхность может на самом деле быть скрученной таким образом, что она не имеет начала и края!

Swarlz 08.02.15 в 17:01

Наиболее известный случай этого, это лента Мебиуса, показанной на рисунке 13-4.

Swarlz 08.02.15 в 17:02

Лента Мебиуса была создана в 1858 немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом.

Swarlz 08.02.15 в 17:03

Рисунок 13-4: лента Мебиуса скручена так, что она имеет только одну непрерывную поверхность.

Swarlz 08.02.15 в 17:05

Вы можете создать свою собственную ленту Мебиуса, когда берете лист бумаги — что то на подобие длинной закладки — и скручиваете его наполовину.

Swarlz 08.02.15 в 17:09

Потом возьмите два края полоски бумаги и соедините их вместе.

Swarlz 08.02.15 в 17:11

Поместите карандаш по центру поверхности и нарисуйте линию вдоль всей длинны полоски без отрывания карандаша от бумаги.

Swarlz 12.02.15 в 20:35

Любопытная вещь происходит, когда вы продолжаете.

Swarlz 12.02.15 в 20:36

В конечном счете, без отрывания вашего карандаша от бумаги, линия рисуется на каждой стороне поверхности и в итоге встречает саму себя.

Swarlz 12.02.15 в 20:38

Для ленты Мебиуса не существует "обратной стороны", которая как-нибудь избежит линии карандаша.

Swarlz 12.02.15 в 20:40

Вы нарисовали линию вдоль всей формы без подъема вашего карандаша.

Swarlz 12.02.15 в 20:41

В математических терминах (и реальных, учитывая результат эксперимента с карандашом), лента Мебиуса имеет только одну поверхность.

Swarlz 12.02.15 в 20:42

Нет "внутри" и "снаружи" на ленте Мебиуса, это есть только на браслете.

Swarlz 12.02.15 в 20:45

Даже несмотря на то, что две формы могут выглядеть похоже, математически они очень разные сущности.

Swarlz 12.02.15 в 23:00

Лента Мебиуса все же имеет, ну естественно, край (или границу) с точки зрения ее ширины.

Swarlz 12.02.15 в 23:03

В 1882, немецкий математик Феликс Клейн расширил идею ленты Мебиуса чтобы создать бутылку Клейна: форма, которая не имеет внутренней и внешней поверхности, а также не имеет границ в любых направлениях.

Swarlz 21.02.15 в 10:30

Взгляните на рисунок 13-5, чтобы понять бутылку Клейна.

Swarlz 21.02.15 в 10:31

Если бы вы передвигались по "передней" стороне пути (обозначим как X), вы, в конечном счете, достигли бы "обратной" стороны этого пути (обозначим как O).

Swarlz 21.02.15 в 10:46

Рисунок 13-5: бутылка Клейна не имеет границы(края).

Swarlz 21.02.15 в 10:55

Если бы вы были муравьем, живущем на ленте Мебиуса, вы бы смогли передвигаться по ее длине и, в конечном счете, вернулись бы назад откуда начали.

Swarlz 21.02.15 в 10:57

Двигаясь по ширине, вы бы, в итоге, столкнулись бы с "краем света."

Swarlz 21.02.15 в 10:59

Муравей, живущий на бутылке Клейна, однако, смог бы идти в любом направлении, и если бы он шел достаточно долго, в конце концов, обнаружил бы себя с другой стороны, откуда начал.

Swarlz 21.02.15 в 11:02

(Передвижение по пути О в конечном счете ведет назад к Х.)

Swarlz 24.02.15 в 21:13

Различие между передвижением по бутылке Клейна и передвижением по сфере это то, что муравей не просто бы шел снаружи по бутылке Клейна, как это было бы в случае сферы, он прошел бы по обеим поверхностям, прям как в случае ленты Мебиуса.

Swarlz 23.02.15 в 21:22

Больше искривлений в трех измерениях: Неевклидова геометрия

Swarlz 24.02.15 в 21:21

Восхищение необыкновенной деформацией пространства в 1800х не было, пожалуй, нигде таким искренним как в создании неевклидовой геометрии, где математики начали исследовать новые типы геометрий, которые не были основаны на правилах изложенных более 2000 лет назад Евклидом.

Swarlz 26.02.15 в 21:09

Одна версия неевклидовой геометрии — риманова геометрия, но есть и другие, например проективная геометрия.

Swarlz 26.02.15 в 21:13

Причина создания неевклидовой геометрии лежит в самих евклидовых "Началах", в его "пятом постулате", который был гораздо сложнее, чем его первые четыре постулата.

Swarlz 28.02.15 в 13:31

Пятый постулат иногда называют аксиомой параллельности Евклида и, хотя он изложен довольно технически, одно следствие имеет важное значение для движущих сил теории струн: пара параллельных линий никогда не пересекаются.

Swarlz 28.02.15 в 13:37

И так, все это справедливо на плоской поверхности, но на сфере, например, две параллельных линии могут пересекаться и пересекаются.

Swarlz 28.02.15 в 13:39