Готовый перевод Alice's adventures in algebra: Wonderland solved / Приключения Алисы в мире Алгебры: объяснение Страны Чудес: Текст

Каким бы было "Приключение Алисы а стране чудес" Льюиса Кэррола без Чеширского кота, судебного разбирательства, ребёнка герцогини или чаепития Безумного Шляпника?

Если обратиться к первоначальной истории, которую автор рассказал Алисе Лидделл и двум её сёстрам во время лодочной прогулки близ Оксфорда, то окажется, что эти известные персонажи и сцены исчезли из текста.

Когда я приступил к моей докторской диссертации по исследованию викторианской литературы, мне захотелось узнать, что стало источником вдохновения для этих более поздних дополнений.

Литературная критика обращает внимание в первую очередь на фрейдистские интерпретации книги как бурного погружения в тёмный мир подсознательного.

В них не было никакого детального анализа добавленных эпизодов, но из массы литературных работ выделяется одна: в 1984 году Хелена Пикайор из Университета Висконсин-Милуоки связала суд над Бубновым сердцем с викторианской книгой по алгебре.

Учитывая дневную работу автора, было несколько удивительно найти несколько других отзывов о его работе с математической точки зрения.

Кэрролл - это псевдоним. его настоящим именем было Чарльз Доджсон, и он был математиком в колледже Крайст-Чёрч Оксфордского университета.

XIX век был бурным временем для математики, принёсшим много новых и вызывающих полемику идей, вроде мнимых чисел, находивших широкую поддержку в математическом сообществе.

Помещая Приключения Алисы в Стране Чудес в этот контекст, можно понять, что Доджсон, непреклонно консервативный математик, использовал некоторые из пропущенных сцен, чтобы высмеять эти новые радикальные идеи.

Даже сильнейшие почитатели Доджсона согласятся, что он был осторожным математиком, написавшим мало оригинальных работ.

Однако, он был добросовестным преподавателем, и превыше всего ценил древнегреческий трактат Элементы, написанный Евклидом, как воплощение математического мышления.

В общих чертах, он охватывал геометрию кругов, четырёхугольников, параллельных прямых и некоторые азы тригонометрии.

Но что на самом деле поражает, так это то, что Элементы являются строгой аргументацией: всё начинается с нескольких неопровержимых истин, или аксиом, и на этом строятся сложные аргументы с помощью простых и логических шагов.

Каждое предложение заявлено, доказано и, наконец, закончено словами, что и требовалось доказать.

На протяжении веков этот подход рассматривался как вершина математических и логических рассуждений.

Тем не менее, к ужасу Доджсона, современные математики не всегда так же строги, как Евклид.

Он отверг такие их написания, как "полу-разговорный" и даже "полу-логический".

Что еще хуже для Доджсона, так это то, что новая математика отошла от физической реальности, которые заземлили работы Евклида.

Сейчас же, учащиеся начинают регулярно использовать кажущиеся бессмысленными идеи, вроде мнимых чисел - квадратных корней из отрицательных чисел - которые не являются представлением физических сущностей в том смысле, в котором это делают целые числа или дроби.

Нет, викторианцы не приняли эти новые концепции искренне, и всё никак не могли найти философскую основу, которая разместит их.

Но они дали математикам свободу, чтобы исследовать новые идеи, а некоторые были готовы идти вместе с этими странными понятиями тех пор, пока они могли ими манипулировать, используя последовательную систему операций.

Для Доджсона, тем не менее, новая математика была абсурдной, и в то время, как он принял её, как возможно интересное для продвинутого математика, он полагал, что ей было бы невозможно научить студента.

Подавленный в специализированной прессе, Доджсон взял свою математику за основу для своего вымысла.

Используя технику, знакомую по доказательствам Евклида, доведённую до абсурда, он берёт отдельно "полу-логику" новой абстрактной математики, высмеивает её слабость, приводя эти предпосылки к их логическим выводам, с безумными результатами.

Результатом оказались Приключения Алисы в Стране Чудес.

Алгебра и кальяны

Например, возьмём главу "Советы от гусеницы".

В этом эпизоде, Алиса упала в кроличью нору и ест торт, который сокращает её высоту всего до 3 дюймов.

Вводится гусеница, курящая кальян, которая показывает Алисе гриб, который может восстановить её до нужного размера.

Загвоздка, конечно, состоит в том, что одна сторона гриба растягивает её шею, в то время как другая сжимает её туловище.

Она должна съесть точно правильный баланс, чтобы достичь своих нужных размеров и пропорций.

Хотя некоторые утверждают, что в этой сцене, с кальяном и "волшебным грибом", речь идёт о наркотиках, я считаю, что на самом деле в ней говорится о том, что Доджсон увидел, как абсурдна символическая алгебра, которая разорвала связь между алгеброй, арифметикой и его любимой геометрией.

В то время как более поздние главы книги содержат более конкретные математические аналогии, эта сцена является тонкой и игривой, задавая тон для безумия, которое будет продолжаться.

Первым ключом может быть сам кальян: в конце концов, само слово "hookah" арабского происхождения, как и "алгебра". Может показаться поразительным, что Огастес де Морган, первый британский математик, изложивший последовательный набор правил символической алгебры, в своей "Тригонометрии и двойной алгебре" (Trigonometry and Double Algebra), опубликованной в 1849 году, использует оригинальный арабский термин.

Он называет это "al jebr e al mokabala" или "восстановление и уменьшение" - что почти точно описывает опыт Алисы.

Восстановление было тем, что привело Алису к грибу: она искала что-либо, чтобы съесть или выпить, чтобы "снова вырасти до своего привычного размера", но тем, что с ней на самом деле произошло было уменьшение, когда она съела кусочек гриба: она уменьшилась настолько быстро, что ударилась ногой о подбородок

Работа де Моргана объясняла переход от универсальный арифметики - где алгебраические символы работают с конкретными цифрами имеющие физическое значение - к алгебраическим вычислениям, где любые абсурдные операции включающие отрицательные и невозможные решения возможны, при условии, что они следуют общей логике.

Алгебраические вычисления есть эссенция того, что мы сейчас используем в качестве остро заточенного языка, связывающего математические объекты, но викторианцы видели алгебру совершенно по-другому.

Даже ранние попытки в алгебраических вычислениях сохраняли косвенную связь с физическими величинами.

Де Морган хотел избавиться даже от этих слабых ассоциаций с измерениями, вместо них он предложил то, что алгебраические вычисления должны рассматриваться как грамматическая система.

""Уменьшите" алгебру от универсальной арифметики до серии логичных, но исключительно символьных операций" говорил он, "И вы однажды сможете восстановить более глубокое значение для системы." Хотя, на этом этапе, он не был способен объяснить как именно.

Когда Алиса теряет самообладание,

сумасшествие Страны Чудес, я верю, отражает взгляды Доджсона на опасности новой вычислительной алгебры.

Алиса перешла из мира рационального - в земли, где четные числа начинают вести себя беспорядочно.

В коридоре она попыталась вспомнить свою таблицу умножения, но они ускользнули с основы - десятиричной системы, к которой мы привыкли.

В сцене с гусеницей, опасения Доджсона находит отражение в том, как рост Алисы плавает между 9 футами и 3 дюймами. Алиса, связанная общепринятой арифметикой, где величины, такие как размер, должны быть постоянными, находит затруднительным: "Изменяться в размерах по столько раз за день - это сильно сбивает с толку.

- Совсем нет, - отвечает Гусеница, которая живёт в этом абсурдном мире.

Предостережение Гусеницы, в конце этой сцены, является, возможно, самым важным ключом к консервативной математике Доджсона.

- Держи себя в руках, - говорит она.

Алиса думает, что она говорит ей не злиться, но, хотя, она была резка, она не была особенно раздражительна по этому вопросу, так что это замечание, в какой-то мере, остаётся загадочным.

Для интеллектуалов, в то же время, слово самообладание (temper в оригинале- прим. переводчика) означает "пропорция в которой свешиваются различные качества", значение, которое сегодня живёт в таких фразах, как "справедливость темперированное милосердием"

Таким образом, Гусеница могла бы просто сказать Алисе сохранять пропорции своего тела независимо от его размеров.

Это опять может отражать любовь Доджсона к Евклидовой геометрии, в которой абсолютная величина не имеет значения, что важно - это отношение одной длины к другой, когда рассматриваются пропорции треугольника, например.

Чтобы выжить в стране чудес, Алиса должна действовать как математик Евклидовой геометрии, сохраняя постоянными свои пропорции даже если ее размеры изменяются.

Конечно же, она этого не делала.

Она съедает кусочек гриба и ее шея растет как змея с ожидаемо хаотичным итогом до тех пор, пока она не уравновесит свою форму кусочком с другой стороны гриба.

Это важное введение к следующей главе "Свинья и перец", где Доджсон пародирует иной тип геометрии.

К этому моменту Алиса вернулась к своим первоначальным размерам, но она укорачивает себя для того, чтобы войти в маленький дом.

Там она находит Графиню, которая на кухне нянчилась со своим ребенком, а, тем временем ее повар положил слишком много перца в суп, заставив всех, кроме Чеширского кота, чихать.

Но, когда Графиня даёт ребенка Алисе, он, каким-то образом превращается в свинью.

Ключевым объектом данной сцены является проективная геометрия, которая изучает свойства фигур, которые, в случае проецирования их на другие поверхности, остаются неизменными. Представьте, что вы светите изображением на подвижный экран, поворачивая экран под различными углами можно получить семейство форм.

Это поле включает в себя различные взгляды, которые Доджсон нашел бы нелепыми, не последний из которых - принцип непрерывности.

Жан-Виктор Понселе, французский математик, изложивший этот принцип, описывает его следующим образом: «Пусть фигура воспринимается как претерпевающая определенное непрерывное изменение, и пусть какое-то общее свойство, относящееся к ней, считается истинным, до тех пор, пока эти изменения остаются в определенных границах; тогда одно и то же свойство будет принадлежать всем последующим состояниям фигуры."

Случай двух пересекающихся окружностей, пожалуй, самый простой для рассмотрения пример.

Решите их уравнения и вы найдете, что они пересекаются в двух различных точках.

Согласно принципу непрерывности, любое непрерывное преобразование этих кругов - например, удаление их центров друг от друга - сохранит основное свойство, заключающееся в том, что они пересекаются в двух точках.

Просто, когда их центры находятся достаточно далеко друг от друга, решение будет включать воображаемое число, которое невозможно понять физически (см. Диаграмму).

Конечно, когда Понселе говорит о «фигурах», он имеет в виду геометрические фигуры, но Доджсон игриво подвергает «полуразговорный» аргумент Понселе строгому логическому анализу и доводит его до крайности.

То, что работает с треугольником, должно работать и с ребенком; если нет, то что-то не так с заявленным принципом, что и требовалось доказать.

Итак, Доджсон превращает ребенка в свинью по принципу непрерывности.

Важно отметить, что ребенок сохраняет большинство своих первоначальных свойств, как и любой объект, подвергающийся непрерывной трансформации.

Его конечности по-прежнему вытянуты как у морской звезды, у него странная форма, вздернутый нос и маленькие глаза.

Алиса понимает, что он изменился, только когда его чихание превращается в хрюканье.

Дискомфорт ребенка по поводу всего процесса и нескрываемое насилие герцогини указывают на яростное недоверие Доджсона к «современной» проективной геометрии.

Все персонажи в сцене со свиньей и перцем плохо справляются со своей работой.

Герцогиня - плохая аристократка и ужасно плохая мать; Повар - плохой повар, который допустил, чтобы кухня наполнилась дымом, переперчил суп и в конце концов швырнул кочергу, кастрюли и тарелки.

Алиса, разгневанная странным поворотом событий, покидает дом герцогини и направляется на чаепитие Безумного Шляпника, на котором исследуются работы ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Гамильтон умер в 1865 году, сразу после публикации Алисы, но к этому времени его открытие кватернионов в 1843 году было провозглашено важной вехой в абстрактной алгебре, поскольку они позволяли вычислять вращения алгебраически.

Подобно тому, как комплексные числа работают с двумя членами, кватернионы принадлежат к системе счисления, основанной на четырех членах (см. «Математика мнимых чисел»).

Гамильтон провел годы, работая с тремя членами - по одному для каждого пространственного измерения, но смог заставить их вращаться только в плоскости.

Когда он добавил четвертый, он получил искомое трехмерное вращение, но у него были проблемы с концептуальным пониманием того, что означает этот дополнительный термин.

Как и большинство викторианцев, он полагал, что этот термин должен что-то означать, поэтому в предисловии к своим лекциям по кватернионам 1853 года он добавил сноску: «Мне казалось (и до сих пор кажется) естественным связать эту внепространственную единицу с концепцией. времени."

Там, где геометрия позволяла исследование пространства, Гамильтон верил, что алгебра позволяет исследование "чистого времени", скорее эзотерической идеи, которую он вывел из идей Иммануила Канта, которая предполагалась как вид Платонического идеального времени, далекого от реального времени, которое мы воспринимаем

Другие математики были тактичны, но осторожно относились к этому понятию, полагая, что чистое время - это шаг слишком далеко.

Параллели между математикой Гамильтона и чаепитием Шляпника - или, возможно, это должно читаться как "т-вечеринка" - являются зловещими.

Сейчас Алиса за столом с тремя различными персонажами: Шляпник, Мартовский Кролик и Соня.

Персонаж Время, который поссорился со шляпником и сейчас отсутствует, из-за обиды он не позволит Шляпнику перевести часы на после шести.

Читая эту сценку, и держа Математику Гамильтона в уме, можно увидеть, что члены чаепития у шляпника отображают три члена кватернионов, в которых важнейший четвертый член -, время - отсутствует.

Без Времени, нам сказали, персонажи застряли у чайного столика, постоянно двигаясь по кругу в поисках чистых чашек и блюдец.

Их движение вокруг стола напоминает ранние попытки Гамильтона рассчитать движение, которое было ограничено вращениями в плоскости до того, как он добавил время.

Даже когда Алиса присоединяется к чаепитию, она не в состоянии остановить Шляпника, Кролика и Соню бегающих вокруг стола из-за того, что она не является дополнительной постранственной единицей как Время.

Бессмысленная загадка Шляпника в этой сцене - "Чем ворон похож на письменный стол?" - может более точно обозначить теорию чистого времени. В королевстве чистого времени, заявляет Гамильтон, причина и следствие больше не связаны, и сумасбродство вопросов Шляпника, на которые нет ответа, может отражать это.

Последующая попытка Алисы решить загадку высмеивает другой аспект кватернионов: их умножение не коммутативно, что означает, что x × y не то же самое, что y × x.

Ответы Алисы также не коммутативны.

Когда кролик просит ее сказать, что она имеет ввиду, она отвечает, что она и так это делает,
- Я хотя бы имею ввиду то, что говорю - это одно и то же.

- Ни капельки не одно и то же! - говорит Шляпник.

- Смотри, ты могла бы точно так же сказать "Я вижу, что я ем" - это то же самое, что и "Я ем, что я вижу"!

Это идея, которая, должно быть, раздражала консервативных математиков, таких, как Доджсон, поскольку некоммутативная алгебра противоречила основным правилам арифметики и открывала мир даже более абстрактный, чем мир приверженцев символьной математики.

Когда сцена подходит к концу, Шляпник и Кролик пытаются засунуть Соню в заварочный чайник.

Это могло бы быть их путем к свободе.

Если бы только они могли избавиться от нее, тогда бы они смогли существовать независимо, как комплексные числа с двумя значениями.

Все ещё не в своем уме, согласно Доджсону, но свободные от бесконечного кружения около стола.

И похоже, тогда, высмеивание Доджсоном современной математики заканчивается.

Что же, тогда, останется от приключений Алисы в стране чудес без этих аналогий?

Ничего, кроме оригинальной детской сказки Доджсона "Приключения Алисы под землей", очаровательной, но короткой характерной чепухи.

Доджсон был наиболее остроумен тогда, когда высмеивал что-то и только тогда, когда объект шуток действительно сильно злил его.

Он написал два безумно смешных памфлета, написанных в стиле математических доказательств, которые высмеивали изменения в Оксфордском университете.

Для сравнения, другие рассказы, которые он написал помимо книг об Алисе, были скучны и нравоучительны.

Я рискну предположить, что без яростной сатиры Доджсона нацеленной на его коллег, Алиса в стране чудес никогда бы не стала знаменитой и Льюис Кэрролл не запомнился бы как бесспорный мастер бессмысленной фантастики.

Воображаемая математика

Вещественные числа, которые включают в себя дроби и иррациональные числа, такие как π, которые, тем не менее могут быть отображены в виде точки на числовой прямой, лишь одна из многих числовых систем.

Комплексные числа, например, состоят из двух членов - вещественного компонента и мнимого компонента, образованного результатом вычисления квадратного корня из -1, который сейчас представлен символом i.

Они записываются в форме а+bi.

Викторианский математик Уильям Роуэн Гамильтон сделал шаг вперёд, добавив ещё два члена, сделав их кватернионами, которые принимают форму a+bi+cj+dk и имеют свои собственные странные правила арифметики.

Мелани Байлей является кандидатом наук в области философии в Оксфордском университете. Её работа была поддержана Исследовательским Советом Объединённого Королевства в области Искусств и Гуманитарных Наук.

Внимание! Этот перевод, возможно, ещё не готов.
Его статус: идёт перевод

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/53130/228726

Переводчики: Gvozdyara, Irisik97, hocqpepaty, Zhuzheli4a

fordisasters