Готовый перевод Quaternions for computer graphics / Кватернионы в компьютерной графике: Chapter 2 Number Sets and Algebra

Глава 2
Числовые множества и Алгебра

2.1 Введение

В этой главе мы рассмотрим некоторые базовые представления о числовых множествах, и о том как с ними работать арифметически и алгебраически. Если бегло просмотреть, то это выражения и уравнения, а также правила используемые для их создания и оценки. Таким образом, мы наоборот раскрываем необходимость расширять обычные действительные числа комплексными числами(не нравится прокладки на каждый день, пользуйся тампонами).

Во второй части этой главы(по иронии судьбы она вторая) используются группы, кольца(всесластия) и поля(кукурузы и чечевицы).

2.2 Числовые множества

2.2.1 Натуральные числа

Натуральными числами являются целые положительноопределённые числа 1,2,3,4, и т.д. и по определению существует расширенное множество {0,1,2,3,4, ... } натуральных чисел и мы это представление так и пишем используя:

N_0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.

Утверждение что

предполагает что k принадлежит множеству N, где ∈ означает квантор пренадлежности, или другими словами, k - это попросту натуральное число. Мы будем снова и снова применять это обозначение в книге, чтобы вы не растерялись про то какого вида используется численное определение величины.

- используется для предоставления множества {1, 2, 3, 4, . . .}.

2.2.2 Действительные числа

Научные вычисление применяются к широкому диапазону математических объектов такими как скаляры, векторы и матрицы. У скаляра одиночное численная величина, тогда как у вектора присутствуют два и более чисел, которые составляют его величину и направление. Матрицей является обычный массив чисел, у которых могут присутствовать все виды их атрибутов.

Десятичные числа составляющие множество действительных чисел определены как R. Такие числа имеют знак и могут быть организованы как линий проходящая от - бесконечности до + бесконечности и включая в себя ноль. Понятие бесконечности кажется довольно странным, и введено немецким математиком, Георгом Кантором (1845-1918). Кантор ещё изобрёл теорию множеств и доказал, что мощность множества действительных чисел больше мощности множества натуральных чисел. К счастью, мы не собираемся определять понятие мощности в контексте данной книги.

2.2.3 Целые числа

Множство целых чисел Z - это натуральные числа, ноль, и те же натуральные числа взятые со знаком минус.

Z происходит от немецкого Zahlen - означающего просто-напросто 'числа'.

2.2.4 Рациональные числа

Множество рациональных чисел - обозначается Q,

a поделить на

где a, b ∈ Z и b != 0.

2.3 Арифметические операции

Мы работаем с этими числами, использую операции арифметического сложения, вычитания, умножения и деления, чей результат может быть закрытым или нет, или неопределённым, в зависимости от того какое множество чисел используется. Например, когда мы складываем два натуральных числа вместе, тогда их результат всегда будет натуральным числом, и таким образом это закрытая операция:

Однако, когда мы друг из друга вычитаем натуральные числа, тогда результат не обязательно будет натуральным числом. Например, хоти я

и я в ляется закрытой операцией

не закрытая, так как -4 - это уже не число из множества натуральных чисел.

Перемножение двух натуральных чисел также всегда является закрытой операцией, однако, деление может вызвать некоторые проблемы. Сначала давайте разделим натуральное чётное число на 2 и покажем, что это закрытая операция:

Когда как деление нечётного натурального числа на чётное натуральное число требует использования десятичной формы записи чисел:

и она не является закрытой так как 3.5 не относится к множеству натуральных чисел. В терминах теории множеств - это пишется так:

3.5 !∈ N

, где !∈ означает, что левая часть не пренадлежит данному множеству.

Умножение любого числа на нуль даёт в результате ноль - данная операция закрытая, однако деление на ноль не определено и, следовательно, должно быть исключено. У действительные чисел нет каких либо проблем вкупе с натуральными числами, и существует замыкание на сложение, вычитание и даже на деление:

a/b = c a, b, c ∈ R и b != 0.

Отметим, что ab - это сокращение от a × b.

2.4 Аксиомы

Когда мы создаём алгебраические выражения, тогда мы применяем специальные законы, называемые аксиомами(теорема не требующая доказательства). Для сложения и вычитания, мы знаем, что группировка чисел никак не влияет на заключительный результат:
например.

2 + (4 + 6) = (2 + 4) + 6 и 2 × (3 × 4) =
(2×3)×4.

Это и будет аксиома ассоциативности, которую можно представить так:

Мы также знаем, что порядок при сложении и перемножении никак не влияет на их конечный результат:

например 2 + 6 = 6 + 2 и 2 × 6 = 6 × 2.

Данная операция называется аксиомой коммутативности и представляется следующим образом:

Алгебраические выражения содержат все типы перемножений, включая и действительные числа просто, и строку(массив) действительных чисел, которых подчиняется аксиоме дистрибутивности:

Причина по который мы пересмотрели эти аксиомы состоит в том, что их не следует к чему-то незыблемому относится, и приминять ко всему что изобретено. Когда мы придём к кватернионам мы обязательно получим утверждение, что они не подчиняются аксиоме коммутативности, что несколько непривычно. Если вы уже использовали матрицы, тогда вы знаете что их перемножение операция некоммутативная, и вам будет легче к этому привыкнуть. Однако операция их перемножение ассоциативная.

2.5 Выражения

Используя уже данные в этой книжке аксиомы мы можем создавать все типы выражений похожие на:

Мы также можем использовать запись для определиния степени как n^2. Эта запись вводится другим множеством рассмотрений:

Затем нам придётся включить все виды функций, как алгебраические квадратичные корни, так и тригонометрические синусы и косинусы, что может показаться довольно безобидным фактом, но только на первый взгляд. Например,

√16 = 4 по опредению.

Однако же у уравнения, x^2 = 16 имеется два решения: ±√16=±4.

Где на самом деле не существует решения в действительных числах для √−16.

Следовательно и у выражения √a при отрицательных величинах (a <0) нет действительных корней.

Схожим образом и ведут себя тригонометрические функции синуса и косинуса, но мы должны помнить, что они берут свои значения из интервала от -1 до +1, включая и 0, что значит что в знаменателе они могут оказаться, и результат частного может быть не определён. Например, это выражение не определено в случае sin α = 0

2.6 Уравнения

Потом, мы приходим к уравнениям где мы объявляет значения выражения какой-то переменной.
В большинстве ситуаций нам требуется прямое объявление, ведущее к действительному решению, как:

где x =±4. Но что представляет интерес, мы можем знак поменять и получить

что мы создадим уравнение, для которого нет действительного решения. Однако, существует комплексное решение, что представляет предмет рассмотрение Главы 3.

2.7 Упорядоченные пары

Упорядоченная пара или двойка (a, b) - это объект, содержащий два элемента, координаты или проекции, где первый или левый элемент отличен от второго или правого элемента. Например, (a, b) отличимы от (b, a), исключая случай a = b. Возможно, лучший пример упорядоченной пары представлен координатой на плоскости (x, y), где порядок элементов такой, что координата x всегда предшествует координате y.

Упорядоченные пары и тройки широко используются в графики для представления точек на плоскости (х,у), в пространстве (x,y,z) и цветовые координаты такие как (r,g,b) и (h,s,v). В данных примерах области действительных значений. Ничто нас не остановит от развития алгебры, используя упорядоченные пары, которые ведут себя как другая алгебра, и мы проделаем то же самое с составными числами в Главе 3 и кватернионами в Главе 5. Сейчас давайте рассмотрим пути взаимодействия упорядоченных пар.

Положим мы выбрали общую упорядоченную пару для описания

Мы определяем сложение двумя элементами такими как

Например

Мы определяем результат как

используя значения,представленные выше

Помним про ответственность и устанавливаем правила

Другое правило управляет взаимодействием упорядоченных пар и скалярного произведения

Например

Исходя из правил выше, напишем

если мы возведем в квадрат эти единичные упорядоченные пары (1,0) и (0,1), используя правило умножения, мы поучим

Внимание! Этот перевод, возможно, ещё не готов.
Его статус: идёт перевод

Переведено на Нотабеноиде
http://notabenoid.org/book/54935/243013

Переводчики: wuffur, AllyMuser, rogotulka