Quaternions for computer graphics / Кватернионы в компьютерной графике: Chapter 2 Number Sets and Algebra

Глава 2
Числовые множества и Алгебра

wuffur 30.09.14 в 19:08

2.1 Введение

wuffur 30.09.14 в 19:08

В этой главе мы рассмотрим некоторые базовые представления о числовых множествах, и о том как с ними работать арифметически и алгебраически. Если бегло просмотреть, то это выражения и уравнения, а также правила используемые для их создания и оценки. Таким образом, мы наоборот раскрываем необходимость расширять обычные действительные числа комплексными числами(не нравится прокладки на каждый день, пользуйся тампонами).

wuffur 30.09.14 в 19:11

Во второй части этой главы(по иронии судьбы она вторая) используются группы, кольца(всесластия) и поля(кукурузы и чечевицы).

wuffur 30.09.14 в 19:12

2.2 Числовые множества

wuffur 05.10.14 в 16:12

2.2.1 Натуральные числа

wuffur 05.10.14 в 16:12

Натуральными числами являются целые положительноопределённые числа 1,2,3,4, и т.д. и по определению существует расширенное множество {0,1,2,3,4, ... } натуральных чисел и мы это представление так и пишем используя:

wuffur 05.10.14 в 16:14

N_0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.

wuffur 06.10.14 в 06:01

Утверждение что

wuffur 05.10.14 в 16:15

предполагает что k принадлежит множеству N, где ∈ означает квантор пренадлежности, или другими словами, k - это попросту натуральное число. Мы будем снова и снова применять это обозначение в книге, чтобы вы не растерялись про то какого вида используется численное определение величины.

wuffur 05.10.14 в 16:17

- используется для предоставления множества {1, 2, 3, 4, . . .}.

wuffur 05.10.14 в 16:17

2.2.2 Действительные числа

wuffur 06.10.14 в 05:58

Научные вычисление применяются к широкому диапазону математических объектов такими как скаляры, векторы и матрицы. У скаляра одиночное численная величина, тогда как у вектора присутствуют два и более чисел, которые составляют его величину и направление. Матрицей является обычный массив чисел, у которых могут присутствовать все виды их атрибутов.

wuffur 06.10.14 в 06:01

Десятичные числа это множество действительных чисел на R(не знаю может составляют множество действительных числе определённое на R, просто так не говорят, а если учисть что книжка по CG, тогда дело скорее в округлении двоичного представления числа). Такие числа имеют знак и их можно разместить на интервале от - бесконечности и до + бесконечности, включая окрестность бесконечно малых в районе нуля( блин, если (-беск,+беск), то ноль есть, [-беск,0)U(0,+беск] - выколотая, то нету, тогда операции на кольце, которые будут описаны дальше работают!). Такая концепция бесконечности кажется странной, и была введена немецким математиком, Георгом Кантором(1845-1918). Кантор также ввёл теорию множеств(парадокс Кантора и т. Кантора) и доказал, что множество действительных чисел имеет мощность континуума, а множество натуральных чисел счётно по своей природе. К счастью, этому вы должны были в ВУЗе научиться, и мы не будем в этой книжке заниматься такой банальщиной.

wuffur 07.10.14 в 07:41

2.2.3 Целые числа

wuffur 07.10.14 в 11:51

Множство целых чисел Z - это натуральные числа, ноль, и те же натуральные числа взятые со знаком минус.

wuffur 07.10.14 в 11:52

Z происходит от немецкого Zahlen - означающего просто-напросто 'числа'.

wuffur 07.10.14 в 11:53

2.2.4 Рациональные числа

wuffur 07.10.14 в 14:08

Множество рациональных чисел - обозначается Q,

wuffur 07.10.14 в 14:09

a поделить на

wuffur 07.10.14 в 14:09

где a, b ∈ Z и b != 0.

wuffur 07.10.14 в 14:10

2.3 Арифметические операции

wuffur 07.10.14 в 14:10

Мы работаем с этими числами, использую операции арифметического сложения, вычитания, умножения и деления, чей результат может быть закрытым или нет, или неопределённым, в зависимости от того какое множество чисел используется. Например, когда мы складываем два натуральных числа вместе, тогда их результат всегда будет натуральным числом, и таким образом это закрытая операция:

wuffur 07.10.14 в 14:13

Однако, когда мы друг из друга вычитаем натуральные числа, тогда результат не обязательно будет натуральным числом. Например, хоти я

wuffur 07.10.14 в 14:14

и я в ляется закрытой операцией

wuffur 07.10.14 в 14:14

не закрытая, так как -4 - это уже не число из множества натуральных чисел.

wuffur 07.10.14 в 14:15

Перемножение двух натуральных чисел также всегда является закрытой операцией, однако, деление может вызвать некоторые проблемы. Сначала давайте разделим натуральное чётное число на 2 и покажем, что это закрытая операция:

wuffur 07.10.14 в 14:49

Когда как деление нечётного натурального числа на чётное натуральное число требует использования десятичной формы записи чисел:

wuffur 07.10.14 в 14:50

и она не является закрытой так как 3.5 не относится к множеству натуральных чисел. В терминах теории множеств - это пишется так:

wuffur 10.10.14 в 11:29

3.5 !∈ N

wuffur 10.10.14 в 11:31

, где !∈ означает, что левая часть не пренадлежит данному множеству.

wuffur 10.10.14 в 11:30

Умножение любого числа на нуль даёт в результате ноль - данная операция закрытая, однако деление на ноль не определено и, следовательно, должно быть исключено. У действительные чисел нет каких либо проблем вкупе с натуральными числами, и существует замыкание на сложение, вычитание и даже на деление:

wuffur 11.10.14 в 04:01

a/b = c a, b, c ∈ R и b != 0.

wuffur 11.10.14 в 04:01

Отметим, что ab - это сокращение от a × b.

wuffur 11.10.14 в 04:02

2.4 Аксиомы

wuffur 11.10.14 в 14:12

Когда мы создаём алгебраические выражения, тогда мы применяем специальные законы, называемые аксиомами(теорема не требующая доказательства). Для сложения и вычитания, мы знаем, что группировка чисел никак не влияет на заключительный результат:
например.

wuffur 11.10.14 в 14:14

2 + (4 + 6) = (2 + 4) + 6 и 2 × (3 × 4) =
(2×3)×4.

wuffur 11.10.14 в 14:15

Это и будет аксиома ассоциативности, которую можно представить так:

wuffur 13.10.14 в 18:12