hoeo: переводы
Didicosm // G. Egan (2023) / Дидикосм // Г.Иган (2023)
→You might also worry that some features on the boundary of the prism will appear in the didicosm as defects in its geometry, preventing it from being locally the same as Euclidean space at some points, or singling out certain places as special. But this is not the case. Just as you can form a perfectly flat version of a torus (the surface of a doughnut) by identifying opposite edges of a square, without causing any irregularity in the geometry, the same thing happens here: every point in a didcosm looks the same as any other, with no trace of the construction from the prism surviving.
0 Вы также можете опасаться, что некоторые элементы на границе призмы будут отображаться в дидикосме как дефекты в ее геометрии, что не позволит ей локально совпадать с евклидовым пространством в некоторых точках или выделять определенные места как особые. Но это не так. Точно так же, как вы можете сформировать идеально плоскую версию тора (поверхность бублика), определив противоположные края квадрата, не нарушая геометрию, здесь происходит то же самое: каждая точка в дидикосме выглядит так же, как и любая другая, без каких-либо следов построения из призма уцелела.
→Whether they are orientable or not.
0 Независимо от того, ориентируемы они или нет.
→Final surface
0 Конечная поверхность
→Noncontractible loop as boundary
0 Несжимаемый цикл как граница
→X^2 Y X^2 deformed to show it equals Y
0 X ^ 2 Y X ^ 2 деформировано, чтобы показать, что оно равно Y
→where by 1 we mean the transformation that does nothing, which is the identity in the group of rotations and translations.
0 где под 1 мы подразумеваем преобразование, которое ничего не делает, которое является тождеством в группе вращений и переводов.
→If we look carefully for algebraic relations between these three screw rotations, we find:
0 Если мы внимательно посмотрим на алгебраические соотношения между этими тремя вращениями винта, то обнаружим:
→Similarly, there are really only two distinct points in the didicosm that correspond to vertices of the rectangular prism, and there are black and white spheres centred on them in this image.
0 Аналогично, в дидикосме на самом деле есть только две различные точки, которые соответствуют вершинам прямоугольной призмы, и на этом изображении в центре них расположены черные и белые сферы.
→Since every path that would take you out of the rectangular prism just leads you back into it somewhere else, the didicosm itself has no boundary. But to be clear, this way of describing the topology of the didicosm should not be taken as implying that it really is a box sitting inside a larger Euclidean space, and some process has connected up its faces in this peculiar fashion. It is simply a handy way for us to visualise how things are connected.
0 Поскольку каждый путь, который вывел бы вас из прямоугольной призмы, просто возвращает вас в нее где-то еще, дидикосм сам по себе не имеет границ. Но для ясности, этот способ описания топологии дидикосма не следует воспринимать как подразумевающий, что это действительно коробка, расположенная внутри большего евклидова пространства, и какой-то процесс соединил ее грани таким своеобразным образом. Для нас это просто удобный способ визуализировать, как все взаимосвязано.
→Figures in kaleidoscopic view of didicosm
0 Фигуры в калейдоскопическом представлении дидикосма
→These copies of the prism are not only shifted relative to the original, they are rotated as necessary to allow their faces to match up correctly. Note that none of the copies are mirror images of the original; the figure’s raised hand is always their right hand.
0 Эти копии призмы не только смещены относительно оригинала, но и поворачиваются по мере необходимости, чтобы их грани соответствовали друг другу. Обратите внимание, что ни одна из копий не является зеркальным отображением оригинала; поднятая рука фигуры всегда является правой рукой.
→In Euclidean space, or on the surface of a ball, every loop can be continuously deformed into one that just stays at P (the so-called trivial loop). But on a torus (the surface of a doughnut), loops that wind a different number of times around the torus will belong to different equivalence classes. In fact, we can classify all the equivalence classes with a pair of integers, (a, b), that count how many times the loop winds around the torus in each of two directions, with positive or negative integers depending on the direction we took.
0 В евклидовом пространстве или на поверхности шара каждая петля может непрерывно деформироваться в такую, которая просто остается на уровне P (так называемая тривиальная петля). Но на торе (поверхности бублика) петли, которые обматываются вокруг тора разное количество раз, будут принадлежать разным классам эквивалентности. Фактически, мы можем классифицировать все классы эквивалентности с помощью пары целых чисел (a, b), которые подсчитывают, сколько раз петля огибает тор в каждом из двух направлений, с положительными или отрицательными целыми числами в зависимости от выбранного нами направления.
→In the image on the left, that single line segment is surrounded by a red cylinder, which is split into quarters in this view, but is a continuous object in the didicosm. The cylinders of various colours here, though they appear divided into halves or quarters, each surround a single line segment and are continuous objects in the didicosm.
0 На изображении слева этот отрезок окружен красным цилиндром, который на этом виде разделен на четверти, но в дидикосме является непрерывным объектом. Здесь цилиндры разных цветов, хотя и кажутся разделенными на половинки или четверти, окружают каждый отдельный отрезок линии и являются непрерывными объектами в дидикосме.
→These different instructions might leave you worrying about what happens along the edges, and at the vertices, of the prism. At first sight, the instructions seem to be potentially contradictory. For example, suppose you hit an edge shared by faces labelled Face A and Face B; the instructions for Face A tell you to jump to another point at the same height, while those for Face B tell you to jump between the top and bottom faces. But just as the two faces labelled Face A only comprise a single rectangle within the didicosm itself, the four edges shared between faces labelled Face A and Face B only comprise a single line segment in the didicosm.
0 Эти разные инструкции могут заставить вас задуматься о том, что происходит по краям и в вершинах призмы. На первый взгляд, инструкции могут показаться противоречивыми. Например, предположим, что вы попали на ребро, разделяемое гранями, обозначенными как грань A и грань B; инструкции для грани A предписывают вам перепрыгнуть в другую точку на той же высоте, в то время как инструкции для грани B предписывают вам перепрыгнуть между верхней и нижней гранями. Но точно так же, как две грани, обозначенные как грань A, образуют только один прямоугольник в самом дидикосме, четыре ребра, разделяемые гранями, обозначенными как грань A и грань B, образуют только один отрезок линии в дидикосме.
→For the face labelled Face C, you jump to a new horizontal coordinate by adding or subtracting half the length of the face, while your vertical coordinate is reflected in the horizontal midline of the face. The same thing happens for Face D.
0 Для граней, обозначенной как грань C, вы переходите к новой горизонтальной координате, добавляя или убавляя половину длины грани, в то время как ваша вертикальная координата отражается на горизонтальной средней линии грани. То же самое происходит для грани D.
→For the two faces labelled Face B, the identification is a little trickier: when you reach points on these faces, you jump to the other face while also undergoing a rotation by 180 degrees around a vertical axis, as indicated by the way the labels are rotated in the image.
0 Для двух граней, обозначенных как грань B, идентификация немного сложнее: когда вы достигаете точек на этих гранях, вы переходите к другой грани, одновременно поворачиваясь на 180 градусов вокруг вертикальной оси, о чем свидетельствует способ поворота меток на изображении.
→For the two faces labelled Face A this is done in the simplest way possible: if you hit the front Face A, you jump to the corresponding point on the back Face A, and vice versa.
0 Для двух граней, обозначенных как Грань A, это делается самым простым из возможных способов: если вы нажмете на переднюю грань A, вы перейдете в соответствующую точку на задней грани A, и наоборот.
→A didicosm can be formed by taking a rectangular prism, as in the image on the right, and “identifying” its faces, so that when you move within the prism to any point on its boundary, you re-enter it at a different point, determined by the way the faces are matched up with each other.
0 Дидикосм можно создать, взяв прямоугольную призму, как на изображении справа, и “идентифицировав” ее грани, чтобы при перемещении внутри призмы в любую точку на ее границе вы снова вошли в нее в другой точке, определяемой способом сопоставления граней друг с другом.
→The easiest way to picture this is not by drawing a three-dimensional doughnut and looking at its surface, or by drawing a single square whose opposite edges are identified, but by taking a kaleidoscopic view of the torus, where we fill up two-dimensional Euclidean space with copies of the square that represents the torus.
0 Самый простой способ представить это - не рисовать трехмерный бублик и не смотреть на его поверхность, или не рисовать один квадрат с идентифицированными противоположными краями, а рассматривать тор в калейдоскопическом режиме, когда мы заполняем двумерное евклидово пространство копиями квадрата, представляющего собой тор
→Torus homotopy
0 Гомотопия тора
Резюме
- Пол:
- существо
- Родной язык:
- русский
- С нами:
- с 16 марта 2010 г. (6060 дней) по приглашению notabenoid
- Деятельность:
-
13670 версий перевода
с общим рейтингом 28
134 комментария
Карма: 1 (оценок: 3)