Quaternions for computer graphics / Кватернионы в компьютерной графике: Preface

Введение

wuffur 15.09.14 в 09:02

Более чем 50 лет назад я учился на электроинженера. Я пришёл из мира комплексных чисел, которые были использованы для внефазовых напряжение и токов, используя оператор j. Я верил, что буква j(на медной бляшке, йота в форменной... пилотке) используется вместо буквы i, из-за того что литера стоит из-за того, что она используется для обозначения силы электрического тока(вообще маленькой буквой обозначается поток электрического тока см. Уравнения Максвелла, а большой силу тока, прим. переводчика). Поэтому как только я начал изучать предмет, тогда у меня было ясное представление, что мнимая единица это рациональный оператор, который который может помогать или замедлять изменяться электрическим величинам со временем(только англичане выдерживают такие конструкции, мои физ-мат мозги плавятся... простите).

wuffur 15.09.14 в 09:08

В то время как произошедшие повлекло, что я стал развиваться в профессиональном плане в написании компьютерных программ, а не в электроинженерии - мне не нужны были никакие комплексные числа, до тех пор пока я не стал работать над фракталами Мандельброта. Но это было весьма непродолжительный, переходящий отрезок времени, и мне совсем уж не нужно было применять комплексные числа в какой-то прикладной графической программе. Однако когда наступил 1986 год, и ваш покорный слуга присоединился к индустрии симуляции полётов(пилотки оргазмируют), тогда наткнулся на применение внутри них кватернионов, которые использовались там чтобы контролировать ориентацию вращения симулируемых воздушных средств.

wuffur 15.09.14 в 09:15

Но теперь я чувствую что литера i - это не просто символ, а ещё и понятие алгебры, в которой обозначено i^2=-1. И я верю что бесполезно пытаться даже копать глубже чтобы понять скрытый смысл этой величин(по моему автор просто-напросто забыл что z1 - комплексное, z2 - комплексное, а z(кватернион) = z1 + j*z2. В то время как z1= a+b*i, а z2 = c + d*i. И вполне логично что электронщики не идиоты и считают сигнал чем-то сложным.... туман.... туман). Тем не менее, удивительно что присутствует такой объект внутри стройного мира математики, и у меня часто вызывает любопытство(да любопытство curious , но я не понимаю автора - типичный англицизм, удивляться тут вряд ли получится... к сожалению или к счастью), а какие ещё будут изобретаться похожие объекты.

wuffur 15.09.14 в 10:13

Когда я начал писать книги по математике в компьютерной графике, я изучал ТФКП - чтобы писать более уверенно о комплексных величинах. А потом уже я обнаружил, что исторический события, благодаря которым произошло введение векторов в обиход, а также кватернионов, который описаны в целом в превосходной книге Михаэля Кроуви "История векторного анализа". Это книга дала мне понимание важности того как и почему происходят математические открытия(тапком кину в того, кто будет говорить про изобретения в математике).

wuffur 15.09.14 в 10:47

Совсем недавно, я наткнулся на книгу Саймона Альтманна "Вращения, кватернионы и двойные группы", что дало мне немного попутной информации касающейся кончине использования кватернионов в 19-ом столетии. Альтманн очень страстно описывал безопасные определения в математической работе Олинды Родригес, опубликовавшей формула весьма схожую с той, что были в кватернион-версия уравнений Гамильтона-Якоби. Важным аспектом публикаций Родригес являлось, что они были сделано за три года(!) до того, как сэр Гамильтон вывел свои кватернионы в 1843 году. Однако мадам Родригес не изобретала алгебру кватернионов - этот куш сорвал сам Гамильтон, но всё таки он понимал важность половинных углов в тригонометрических функциях, которые используются, чтобы вращать точки вокруг произвольной оси.

wuffur 15.09.14 в 11:07

Все, кто использовал преобразования Эйлера должно быть с опаской отнеслись к их сокращениям, особенно к их Ахилессовой пяте: Шарнирный замок(склеиванием ласт тоже называют, петросяны....) . Поэтому, любое устройство, которое может вращать точки около произвольной оси, является годным дополнением к программистскому багажу. Существуют много различных и не очень техник созданных для вращения точек и рамок вокруг на плоскости и в пространстве, которые я описал в моей книжке "преобразование вращения в компьютерной графике". Это книжка так же описывает параметризацию Эйлера-родригеса и кватернионы, но только после отправки этой рукописи на публикацию, я решил написать эту книгу относящаюся к кватернионы и тому как и почему из ввели, и об их приложении в компьютерной графике.

wuffur 15.09.14 в 12:39

Хотя я и готовил материал для этой книге, было бы крайне поучительно прочитать ранние труды и статьи Вилльяма Рована Гамильтона и это друга Пи Джи Тэйт. Теперь я понимаю насколько сложным должно дастся понимание важности природы кватернионов, и как они могут быть использованы. В то же время, не было широкого спроса на точки поворота вокруг произвольной оси. Однако, математическая система требовалась чтобы работать с векторами. Ну и в конце концов, кватернионы не были шибко модными, и медленно уходили со сцены. Кроме того, способность представлять их векторами и обрабатывать их арифметически были главным достижением для Гамильтона, хотя и было высказано предположение Джозайя Гиббсом сделать простой и рабочий алгебраический аппарат.

wuffur 15.09.14 в 18:18

В этой книге я попытался описать некоторую историю, касающегося возникновения кватернионов, как и описание алгебры кватернионов. И я ни в коей мере не хочу посчитать себя автором учения о кватернионах. Я попросту хочу сказать, что я понимаю их, что я в душе надеюсь будет вам полезно, дорогой мой читатель. Есть несколько способов представить кватернион, но тот что мне больше всех нравится я считаю лучшем для упорядоченной пары, и я его нашёл в книге Семёна Альтманна.

wuffur 15.09.14 в 18:54

Это книга делется на восемь глав. Первая и последния - это вводная и заключительная главы, а 6 глав покрывают тему книги. Вторая глава книги по числовым множествам и алгебрам описывают общепринятые обозначения и язык относящийся к остальной книге. Так присутствует подпункты про некоторые виды множеств, аксиом, упорядоченные пары, группы и кольца с полями. Таким образом читатель подготавливается к введению некоммутативного перемножения кватернионов и объяснению почему кватернионы описываются как кольцо разделения.

wuffur 16.09.14 в 08:11

В главе 3 представлены комплексные числа и показано как они могут быть представлены упорядоченной парой или матрицей. Глава 4 продолжает эту тему представлением комплексной плоскости и показывает, что особенности в решении или представлении комплексных чисел. Там также читать готовится дать ответ на вопрос раннего 19 века: а может ли собственно быть трёхмерный эквивалент комплексного числа или нет?

wuffur 16.09.14 в 14:29

В главе 5 находятся ответы на данный вопрос, с помощью описания Гамильтоновых величин: кватернионов и их сопутствующих элементарных операций. Я тут привёл некоторую историческую информацию, по которой ученик может оценить важность работ сэра Гамильтона. Также упорядоченные пары являются главной формой описания, я также ввёл описание операций над матрицами в терминах кватернионов.

wuffur 17.09.14 в 08:46

Чтобы подготовить наших дорогих читателей ко свойствам операций поворота в Главе 6 дан обзор трёхмерных операций вращения, в особенности углов Эйлера, а также шарнирного замка. Я также описал матрицу вращения для поворота точки вокруг произвольной оси используя векторы и матричные преобразования. В Главе 7 даны фокусные понятия книги и описывается то, как кватернионы поворачивают вектор вокруг произвольной оси. В этой главе вводится некоторая историческая справка и объясняется как различные кватернионы перемножают точки поворота(или на них перемножаются). Также кватернионы буквальным образом используют свою комплексную форму для обозначения упорядоченной пары, у них также присутствует матричная форма, которая напрямую получается из двух первых утверждений. В этой главе также дальнейшим развёртываются подпункты о собственных значениях и собственных векторах, вращение около осей смещения, поворот системы координат(ДПСК), интерполяция кватернионов и, в заключение, преобразование между кватернионами и матрицей вращения.

wuffur 17.09.14 в 16:28

Каждая глава содержит много практических примеров, которые показывают как уравнения оцениваются, и где они релевантны(соответсвуют требуемому), далнейшие рабочие примеры показаны в конце этой главы.

wuffur 17.09.14 в 18:07

Когда я писал эту книжку ваш покорный слуга получил много захватывающего опыта, и я теперь верю что и Вы также можете читая её открывать что-то новое с писаных страницы.

wuffur 17.09.14 в 18:08

Я хотел бы поблагодарить доктора Тони Крилли, Читательского эмиссара с университета Среднего Пола, за то что он вникал в скоропечатаную рукопись, корректировал и объяснял мои обозначения и описания. Тони прозвёл те же действия с моей книгой преобразование вращения для компьютерной графики. Я слепо верю его знанию математики и благодарян за советы и экспертное мнение. Однако, до сих пор несу полную ответственность за неточности, которые я мог допустить давай определения(это у математиков увлёкшихся самая распространённая ошибка).

wuffur 17.09.14 в 18:12

Я бы также хотел думать, что профессор Патрик Райли, что написали некоторые ранние очерки для этого труда и поднял несколько интересных технических вопросов про кватернионы. Такие вопросы позволили мне осознать, что некоторые данные мной описания формы кватернионов требуют дальнейшего разъяснения, что весьма вероятно и желательно бы уже были устранены, к моменту окончания постредактуры(Future Past Perfect tension - завершённое в прошлом действие).

wuffur 21.09.14 в 18:04

Теперь я пользуюсь редакторским языком LATEX2ε уже как для трёх книг, и у весьма твёрдо уверен в устоявшемся описании каждого. Тем не менее, мне до сих пор приходится созваниваться с отделом техредактуры издательства Springer и я благодарю их за посильную помощь.

wuffur 21.09.14 в 18:06

Я не уверен последняя ли это моя книга. И если так, я бы скорее поблагодарил Беверли Форд, начальника редакторского отдела в ИТ, и Хелен Десмонд, зам-я глав. редактора Хелен Дезмонд, из того же отдела, издательство Springer UK, за их профессиональную помощь в течении последних лет. Ну а если это книжка не станет моей последний, тогда поговорим с ними о том, чтобы работать над другим проектом ещё один раз.

wuffur 22.09.14 в 00:35

Джон Винц из Рингвудского леса, Соединённое Королевство.

wuffur 22.09.14 в 00:38