Quaternions for computer graphics / Кватернионы в компьютерной графике: Chapter 2 Number Sets and Algebra

Мы также знаем, что порядок при сложении и перемножении никак не влияет на их конечный результат:

wuffur 11.10.14 в 14:16

например 2 + 6 = 6 + 2 и 2 × 6 = 6 × 2.

wuffur 11.10.14 в 14:16

Данная операция называется аксиомой коммутативности и представляется следующим образом:

wuffur 11.10.14 в 14:17

Алгебраические выражения содержат все типы перемножений, включая и действительные числа просто, и строку(массив) действительных чисел, которых подчиняется аксиоме дистрибутивности:

wuffur 14.10.14 в 04:50

Причина по который мы пересмотрели эти аксиомы состоит в том, что их не следует к чему-то незыблемому относится, и приминять ко всему что изобретено. Когда мы придём к кватернионам мы обязательно получим утверждение, что они не подчиняются аксиоме коммутативности, что несколько непривычно. Если вы уже использовали матрицы, тогда вы знаете что их перемножение операция некоммутативная, и вам будет легче к этому привыкнуть. Однако операция их перемножение ассоциативная.

wuffur 16.10.14 в 11:59

2.5 Выражения

wuffur 18.10.14 в 15:41

Используя уже данные в этой книжке аксиомы мы можем создавать все типы выражения начиная с:

wuffur 18.10.14 в 15:42

Мы также можем использовать запись для определиния степени как n^2. Эта запись вводится другим множеством рассмотрений:

wuffur 18.10.14 в 15:43

Затем, нам нужно включить все виды функций, как квадратичные корни, так и синусы с косинусами, которые могут показаться более безобидными, но только на первый взгляд. Например,

wuffur 18.10.14 в 15:45

√16 = 4 как мы обусловились.

wuffur 18.10.14 в 15:47

Однако же у уравнения, x^2 = 16 имеется два решения: ±√16=±4.

wuffur 18.10.14 в 15:48

Где на самом деле не существует решения в действительных числах для √−16.

wuffur 18.10.14 в 19:59

Следовательно и у выражения √a при отрицательных величинах (a <0) нет действительных корней.

wuffur 18.10.14 в 20:00

Схожим образом и ведут себя тригонометрические функции синуса и косинуса, но мы должны помнить, что они берут свои значения из интервала от -1 до +1, включая и 0, что значит что в знаменателе они могут оказаться, и результат частного может быть не определён. Например, это выражение не определено в случае sin α = 0

wuffur 19.10.14 в 13:33

2.6 Уравнения

wuffur 22.10.14 в 14:18

Потом, мы приходим к уравнениям где мы объявляет значения выражения какой-то переменной.
В большинстве ситуаций нам требуется прямое объявление, ведущее к действительному решению, как:

wuffur 22.10.14 в 14:20

где x =±4. Но что представляет интерес, мы можем знак поменять и получить

wuffur 22.10.14 в 14:21

что мы создадим уравнение, для которого нет действительного решения. Однако, существует комплексное решение, что представляет предмет рассмотрение Главы 3.

wuffur 22.10.14 в 14:22

2.7 Упорядоченные пары

rogotulka 30.05.16 в 09:15

Упорядоченная пара или двойка (a, b) - это объект, содержащий два элемента, координаты или проекции, где первый или левый элемент отличен от второго или правого элемента. Например, (a, b) отличимы от (b, a), исключая случай a = b. Возможно, лучший пример упорядоченной пары представлен координатой на плоскости (x, y), где порядок элементов такой, что координата x всегда предшествует координате y.

rogotulka 30.05.16 в 09:49

Упорядоченные пары и тройки широко используются в графики для представления точек на плоскости (х,у), в пространстве (x,y,z) и цветовые координаты такие как (r,g,b) и (h,s,v). В данных примерах области действительных значений. Ничто нас не остановит от развития алгебры, используя упорядоченные пары, которые ведут себя как другая алгебра, и мы проделаем то же самое с составными числами в Главе 3 и кватернионами в Главе 5. Сейчас давайте рассмотрим пути взаимодействия упорядоченных пар.

AllyMuser 23.02.17 в 05:14

Положим мы выбрали общую упорядоченную пару для описания

AllyMuser 23.02.17 в 05:15

Мы определяем сложение двумя элементами такими как

AllyMuser 23.02.17 в 05:16

Например

AllyMuser 23.02.17 в 05:17

Мы определяем результат как

AllyMuser 23.02.17 в 05:17

используя значения,представленные выше

AllyMuser 23.02.17 в 05:17

Помним про ответственность и устанавливаем правила

AllyMuser 23.02.17 в 05:18

Другое правило управляет взаимодействием упорядоченных пар и скалярного произведения

AllyMuser 23.02.17 в 05:20

Например

AllyMuser 23.02.17 в 05:18

Исходя из правил выше, напишем

AllyMuser 23.02.17 в 05:20

если мы возведем в квадрат эти единичные упорядоченные пары (1,0) и (0,1), используя правило умножения, мы поучим

AllyMuser 23.02.17 в 05:22