Low-cost 3D Printing for Science, Education and Sustainable Development / Доступная 3Д печать для науки, образования и устойчивого развития: 9. Визуализируем математику, используя 3D принтеры

Оливер Нил, Элизабет Славковски
Математическое отделение, Университет Гарварда, Кембридж, Массачусетс, США
knill@math.harvard.edu, writetoliz@yahoo.com

Woolpit 12.10.13 в 05:35

Визуализация
В математике визуализация всегда была важным компонентом обмена информацией. Фигуры и модели помогли выразить идеи раньше, чем официальный математический язык смог описать структуры. Числа были записаны как метки на костях, оставленные камешком, затем высечены на камне, надписаны на глине, вплетенные в разговор узелки, написанные на папирусе или бумаге, затем распечатанные на бумаге или представлены на экране компьютера. В то время как числа расширяют язык, изображения позволяют визуализировать понятия, представление объекта в пространстве сохраняет его значимость. Уже в древней Греции, использовались деревянные модели конусов Аполлона, чтобы преподавать коническое сечение. Ранние исследования в математике часто были визуальными: фигуры на Вавилонских глиняных табличках иллюстрируют пифагоровы тройки, московский математический папирус изображает рисунки, которые помогли вывести формулу объема для усеченного конуса. Аль Хорезми чертил фигуры, чтобы решить квадратное уравнение. Визуализация не только пояснительная, образовательная или эвристическая, она имеет практическое значение: Пифагоровы треугольники, представленные веревками, помогли измерению и разделению земель в Вавилонии. Линейка и циркуль, добавленные к конструкторской математике на бумаге, могут использоваться для создания проекта механизмов. Греческие математики, такие как Аполлоний, Аристарх, Евклид или Архимед осваивали искусство через представление математических фигур [1].

alex_itz 29.12.13 в 19:00

Пока изображения не заменяют доказательства – Кляйн [2], дает убедительное визуальное доказательство – все треугольники равносторонние, они помогают передавать догадки о результатах и идеях [3], [4]. Визуализация особенно важна для образования и может привести к новому пониманию. Много примеров механических свойств находятся в учебнике «Математическая механика» [5]. Как педагогический инструмент, она помогает педагогическим вузам любого уровня математики, от начальной и средней школы, через высшее образование к современному исследованию [6], [7], [8]. Диссертация Славковски [9] исследовала реальность технологии в классе. Мы взглянули на работу Архимеда [10], используя эту технологию.

Woolpit 12.10.13 в 05:37

Хотя картинки не заменяют доказательств - Кляйн [2] дает убедительное наглядное доказательство что все треугольники являются равносторонними, - они помогают передать догадки о результатах и идеях [3], [4]. Визуализация особенно важна в образовании и может подвести к новому пониманию. Много примеров механических свойств есть в учебнике "Математическая механика". Как педагогический инструмент она помогает учителям на разных уровнях математики, от начальной и средней школы, через высшее образование к современным исследованиям [6], [7], [8]. В диссертации Славковски [9] исследована осуществимость технологии в классе. Мы взглянули на работу Архимеда [10], используя эту технологию.

alex_itz 30.12.13 в 17:57

Визуализация помогает демонстрировать красоту математики и продвигаться к более многочисленной публике. Фигуры могут вдохновить на новые идеи, создать новые теоремы или помочь в вычислениях; например – диаграммы Фейнмана или Динкина или таблицы Янга. Большинство математиков описывают творческие идеи и догадку исходя из изображений, даже если эти фигуры не появятся на бумаге или в учебнике. Художники, архитекторы, режиссеры, инженеры и дизайнеры черпают вдохновение в визуальной математике. Хорошо проиллюстрированные книги, как [11], [12], [13], [14], [15], [16] реклама математики с фигурами и иллюстрациями. Такие публикации помогают уравновесить впечатление, что математику трудно передать не математикам. Математические выставки, такие как в Музее науки и техники в Бостоне или Музей математики в Нью-Йорке играют важную роль в создании доступной математики. Они все визуально изображают или даже практически реализуют математику. В то время как возникли различные технологии, которые позволяют выводить на экран пространственный и динамический контент в сети, такие как Javascript, Java, Flash, WRML, SVG или WebGl, возможности управлять объектом руками все еще несопоставимы. 3D принтеры позволяют нам создать это с относительно небольшим усилием.

Woolpit 12.10.13 в 05:38

3D печать
Индустрия быстрого прототипирования и 3D печати, в частности, появились около 30 лет назад [17], [18], [19], [20], [21] и некоторыми считается частью промышленной революции, в которой производство становится цифровым, личным и доступным [22], [23], [24] . Впервые реализованная в 1994 году с печатью восковым материалом, технология перешла на другие материалы, такие как акрилатные фотополимеры или металлы и в настоящее время входит в ранг потребительских технологий.
Центры печати могут печатать в цвете, различными материалами и в высоком качестве. Развитие 3D-печати является последним звеном в цепочке методов визуализации. Мы живем в захватывающее время, потому что мы переживаем не одну, но две революции одновременно: информационную революцию и промышленную революцию. Эти изменения также влияют на математическое образование [25]. 3D печать в настоящее время используется в медицине, авиапромышленности, для создания прототипов роботов, в создании произведений искусства и ювелирный изделий, чтобы построить нано-структуры, велосипеды, корабли, схемы, для производства художественных работ, роботов, оружия, домов и даже используется для украшения тортов. Его использование в сфере образования была исследована в [9]. Поскольку физические модели важны для практического активного обучения . Технология 3D печати в образовании использовалась с некоторого времени [26] и рассмотрена для [27] устойчивого развития для получения образования К-12 в проектах STEM [28] (science, technology, engineering and mathematics - наука, технология, инженерия, математика - прим. ред.), а также начального математического образования [29] . Нет никаких сомнений, что это будет иметь огромное влияние в сфере образования [30], [31] .

alex_itz 01.01.14 в 16:02

Распечатанные модели позволяют иллюстрировать понятия в различных математических областях, таких как вычисления, геометрия или топология. Это уже привело к новым перспективам в математическом образовании. Литература о 3D печати сметается, так же как литература о компьютерах, когда ПК вышли на потребительский рынок. Например, книги [32], [33], [34]. Что касается любой появляющейся технологии, её публикации могут быстро устареть, но они останутся ценным свидетельством захватывающего времени, в котором мы живем.

Woolpit 12.10.13 в 05:38

Реализация математики в жизнь
Чтобы проиллюстрировать визуализацию, используя 3D принтеры, мы сфокусируемся на математических моделях, созданных при помощи алгебраичных компьютерных систем. В отличие от 3D средств моделирования, у математического программного обеспечения есть преимущество, что исходный код короток, и программирует, чтобы иллюстрировать математику для исследований или может быть повторно использован в классе. Многие примеры, данные здесь, были разработаны для классов или проектов и перерисованы так, чтобы они могли быть распечатаны. В отличие от «средств моделирования», программное обеспечение, которое создает большой список треугольников, алгебраичные компьютерные системы описывают и выводят на экран трехмерные математические объекты. Пока мы экспериментировали также с другим программным обеспечением таким как «123D Проект» от Autodesk, «Sketchup» от Trimble, средство моделирования «Free CAD», «Blender» или «Rhinoceros» от McNeel Accociates, мы работали главным образом с алгебраичными компьютерными системами и в частности с Mathematica [35], [36], [37], [38], [39]. Чтобы объяснить это на конкретном примере, давайте рассмотрим теорему Ньютона по «числу касаний» сферы, где говорится, что число соприкасающихся сфер в трехмерном пространстве равняется 12. Теорема гласит, что максимальное число сфер, которые могут быть размещены вокруг данной сферы, равняется двенадцати, если все сферы имеют такие же радиусы, касаются центральной сферы и не перекрываются.

Woolpit 12.10.13 в 05:38

В то время как современник Ньютона Грегори считал, что можно поместить тринадцатую сферу, Ньютон полагал, что число соприкосновения лишь 12. Теорема была доказана только в 1953 [40]. Продемонстрировав, что число касаний, по крайней мере, 12, возьмите двадцатигранник с длиной стороны 2 и поместите элемент сфер на каждую из 12 вершин, тогда они касаются элемента сферы, центрированный в начале. Доказательство, что невозможно поместить 13 сфер [41], использует элементарный расчет [42] для области сферического треугольника, Эйлерова формула многогранника, дискретная теорема Гаусса-Бонне утверждает, что сумма искривлений равна 2 и нескольким комбинаторным анализам, чтобы проверить все поверхности многогранников, которые допускают эти ограничения. Чтобы визуализировать использование Mathematica, мы графически изобразили 12 сфер, которые соприкасаются с центральной сферой. В то время как объект, состоящий из 13 сфер, полое тело, созданное из 8640 треугольников. Код Mathematica очень короткий, потому что нам нужно только вычислить координаты вершины двадцатигранника, создать объект и затем экспортировать файл STL. При помощи выведения на экран исходного кода, мы имеем проиллюстрированную визуализацию такую же, как смежное доказательство. Если передать в компьютер, код сгенерирует печатаемый файл «STL».

Woolpit 12.10.13 в 05:39

Анализ жизнеспособности
Физические модели важны для практического активного изучения. Возникло хранилище печатаемых для образования 3D моделей [26]. Технология 3D печати использовалась для образования K-12 в проектах STEM [28] и начального математического образования [29]. Есть надежда, что это окажет большое влияние на образование [30]. Новая технология позволяет каждому создавать модели для класса. Но чтобы сделать это более доступным, есть еще много препятствий. Есть и хорошие новости: файлы STL могут быть легко сгенерированы, потому что формат прост и доступен. Файлы STL могут экспортироватся в другие форматы. Mathematica, например, позволяет импортировать и преобразовывать его в другие форматы. Программы, такие как «Meshlab», позволяют управлять им. Терминал преобразований, «admesh», позволяют работать с файлами STL из командной строки. Другие автономные программы, «stl2pov», позволяют преобразовывать его в форму, которая может быть представлена в потоке трассировки, таком как Povray. Один важный аспект в том, что хорошее программное обеспечение для создания объектов, не дешево. Использование коммерческой алгебраической компьютерной системы такой, как Mathematica, может быть очень дорогостоящим, если требуется корпоративная лицензия. Сейчас нет никакого бесплатного алгебраичного программного обеспечения, которое в состоянии экспортировать STL или 3DS или файлы WRL со встроенными подпрограммами. Алгебраичная бесплатная компьютерная система SAGE, которая является самой сложной, имеет возможность экспорта только на стадии испытаний [43]. Кажется, что должна быть проделана большая работа, чтобы сделать это.

Woolpit 12.10.13 в 05:39

Тем не менее, доступны множество ресурсов [44], [45]. Следующие иллюстрации состоят из графиков Mathematica, которые можно распечатать. Зачастую требуется адаптация, потому что принтер не может распечатать объекты нулевой толщины.

Woolpit 12.10.13 в 05:40

Иллюстрации
Эта фигура стремится визуализировать, что число соприкасающихся сфер - ≥ 12. Код Mathematica создавший этот объект, дан в тексте. Он создает файл, содержащий десятки тысяч треугольников, которые знает 3D принтер. Распечатанный объект визуализирует, что на сфере остается очень мало пространства. Ньютон и его современник Грегори имели разногласия по поводу того, что достаточно ли этого места для размещения тринадцатой сферы.

Woolpit 12.10.13 в 05:40

Dehn скрученный в торы и раскрученные торы. Левое и правое изображение показывает два неизоморфных графика, но они имеют те же топологические и изоспектральные свойства для оператора Лапласа, что и для оператора Дирака. Это простейший пример пары неизометрических, но изоспектральных графиков Дирака.

Woolpit 12.10.13 в 05:42

Все 26 Архимедовых и каталонских твердых частиц, соединенных с «драгоценным камнем» в форме двенадцатигранника Disdyakis. Правильная фигура, демонстрирующая большой ромбовидный двенадцатигранник с 30 точками искривления ⅓ и 12 точками искривления -⅔. Полное искривление равняется 2 и согласуется с Эйлеровой характеристикой. Это демонстрирует дискретную теорему Гаусса-Бонне [46].

Woolpit 12.10.13 в 05:42

Ожерелье Антуана – совокупность Кантора в пространстве, чье дополнение неодносвязно. Сфера Александра, справа, является топологическими 3 шарами, которые являются односвязными, но у которых есть множество внешних точек, которые неодносвязны. Из сфер Александра получатся красивые серьги, если их распечатать.

Woolpit 12.10.13 в 05:42

Два типа доказательств Архимеда, что объем сферы - 4π/3 [47], [48], [49]. Первое
предполагает, что площадь поверхности A известна. Формула V = Ar/3 может быть представлена путем разрезания сферы на множество маленьких четырехгранников объемом dAr/3. При подведении итогов по сфере, мы получаем Ar/3. Второе доказательство сравнивает половину объема сферы с дополнением конуса в цилиндре.

Woolpit 12.10.13 в 05:43

Копыто Архимеда, Архимедов купол (диэдр), пересечение цилиндров – твердые частицы, для которых Архимед мог вычислить объем с помощью сравнительных интеграционных методов [50]. Копыто – также объект, где Архимед должен был использовать предельную сумму, вероятно первую в истории человечества [51].

Woolpit 12.10.13 в 05:43

Два из 6 регулярных выпуклых четырехмерных многогранников. Цвет – вершина в четырехмерном пространстве. Мы видим 120 ячеек и 600 ячеек.

Woolpit 12.10.13 в 05:43

Другая пара 6 регулярных выпуклых четырехмерных многогранников. Цвет – высота в четырехмерном пространстве. Мы видим 16 ячеек (аналог октаэдра) и 24 ячейки. Позже позволит составлять мозаику четырехмерного Евклидова пространства.

Woolpit 12.10.13 в 05:43

5 ячеек – полный граф с 5 вершинами и самый простой четырехмерный полиэдр. 8 ячеек, справа, также вызываются ячейкой. Это – четырехмерный аналог куба.

Woolpit 12.10.13 в 05:44

Архимедовы купола – половина Архимедовых сфер. У них есть объем, равный ⅔ призмы, в которую они вписаны. Это было обнаружено только после Архимедовых шаров, площадь поверхности ⅔ от площади поверхности ограниченной призмы [50].

Woolpit 12.10.13 в 05:44

Аполлонов конус, названный в честь Аполлона из Перги, использует визуализацию конического сечения. Деревянные модели используются в школах. Правильная фигура демонстрирует образ Хаоса, точка притяжения Лоренца [52]. Как полагают – это фрактал. Динамика этой совокупности хаотическая для различных параметров.

Woolpit 12.10.13 в 05:44

Лента Мёбиуса была утолщена, чтобы ее можно было напечатать. Правое изображение показывает ленту Мёбиуса с самопересечением. Это пример, где система компьютерной алгебры блистает. Чтобы сделать поверхность более толстой, нам нужно вычислить нормальный вектор в каждой точке поверхности.

Woolpit 12.10.13 в 05:44

Девять точек теоремы Фейербаха реализованные в 3D. Правая фигура иллюстрирует теорему Гиппократа, попытка квадратуры круга. Треугольник имеет такую же область, как «луночки» сформировавшие фигуры.

Woolpit 12.10.13 в 05:44

Левая фигура показывает гекслет Содди. Каждой необходима удобная трансформация, в частности трансформация Мёбиуса, чтобы создать твердый объект. Правая фигура демонстрирует, что в пространстве есть бесконечное множество плотных объединений. В то время как есть кубическое плотное объединение и гексагональное плотное объединение, эти объединения могут быть смешаны.

Woolpit 12.10.13 в 05:44

Граф 1/|ζ(x+iy)| показывает нули зета-функции ζ (z) как вершины. Догадка Римана в том, что все эти корни находятся на строке x = ½. Справа изображена Гамма функция, которая расширяет функцию факториала от положительных целых чисел до комплексной плоскости Г (x) = (x - 1)! для положительного x. Эти графы создаются для последующей печати.

Woolpit 12.10.13 в 05:45

Две фигуры из различных областей геометрии. Первое изображение позволяет распечатывать апериодическую черепицу Пенроуза, состоящую из выступов и уголков. Чтобы создать мозаичное размещение в первом 2D, мы должны использовать код из [37] раздел 10.2. Вторая фигура – это третья стадия рекурсивно определенной кривой Пеано, кривая заполнения пространства.

Woolpit 12.10.13 в 05:45

Иллюстрация теоремы в многовариантном исчислении, градиент перпендикулярен уровню поверхности. Второе изображение иллюстрирует экспоненциальное отображение в Римановой геометрии, где мы видим волновые фронты в точке положительного искривления и в точке отрицательного искривления. Дифференциальные уравнения сложны, но Mathematica заботится об этом.

Woolpit 12.10.13 в 05:45

Печать треугольника Пенроуза. Твердая часть была создана Оскаром Реутерсвардом и популяризована Роджером Пенроузом [53]. Mathematica впервые реализуется в [36].

Woolpit 12.10.13 в 05:45

Печать упрощенной версии лестницы Эшера. Если объект повернут под прямым углом, невероятная лестница видна. Если распечатать этот объект, можно визуализировать геометрию невероятные фигуры.

Woolpit 12.10.13 в 05:46

Зонтик Уитни – знак теории катастроф. Это – типичная форма каустической поверхности фронта скачка уплотнения движущегося в пространстве. Слева мы видим, как поверхность была утолщена, что делает фигуру пригодной для печати. Справа, искривления сетки представлены как трубки. Это так же способ сделать объект пригодным для печати.

Woolpit 12.10.13 в 05:46

Фигура слева демонстрирует многогранник Штеффена, гибкая поверхность. Она может быть деформирована без дистанциирования между точками изменения. Это удивительно так как, начиная с теоремы Коши, утверждалось, что это не возможно для выпуклых тел [54]. Правое изображение иллюстрирует, как можно создать каустическую поверхность на поверхностях, которые имеют заданную конфигурацию.

Woolpit 12.10.13 в 05:46

Первое изображение иллюстрирует падающую палку, отталкивающуюся рикошетом от стола. Мы видим стробоскопический снимок траектории. Второе изображение, иллюстрирует орбиту бильярда на трехмерном бильярдном столе [55].

Woolpit 12.10.13 в 08:43

Левое изображение показывает два изоспектральных цилиндра, созданные Гордоном-Веббом. Правое изображение показывает выполненную распечатку графика оператора Дирака [56].

Woolpit 12.10.13 в 08:44

Левое изображение показывает каустическую кофейную чашку. Это значок теории катастроф. Правое изображение показывает минимальную поверхность Косте, использующую параметризацию, придуманную Греем [57].

Woolpit 12.10.13 в 08:44

Левое изображение демонстрирует график торуса, правое изображение показывает множество Мандельброта в 3D. Фантастически разработанные компьютерные изображения фрактального вида уже были представлены 25 лет назад [58].

Woolpit 12.10.13 в 08:44

Левое изображение иллюстрирует спектр матрицы, где элементы беспорядочны, но соотнесены. Элементы даны значениями квазипериодической функции. Мы уже наблюдали экспериментально, что график спектральной функции имеет фрактальную природу в комплексной плоскости. Изображение может быть распечатано. Справа пример десятичной (decic) поверхности, нулевое геометрическое место точек f (x, y, z) = 0 многочлена десятого порядка в трех переменных. Мы показываем область определения f (x, y, z) ≤ 0.

Woolpit 16.01.14 в 13:19

Левая фигура изображает геодезический поток на эллипсоиде без осевой симметрии. Последняя теорема Якоби, все еще нерешенная задача, утверждает, что у всех каустических поверхностей есть 4 точки возврата. Правое изображение показывает некоторую геодезию, начинающуюся в точке поверхности вращения.

Woolpit 12.10.13 в 08:44

Волновой импульс на кубе. Несмотря на простоту установки, волновые импульсы становятся очень сложными. Правая фигура показывает аппроксимацию губки Менджера, фрактал в трехмерном пространстве. Это важно для топологии, потому что это содержит очень компактное метрическое пространство топологической размерности 1.

Woolpit 12.10.13 в 08:45

Фигура слева иллюстрирует Эйлеров блок. Неизвестно, есть ли кубоид, для которого все длины сторон – целые числа, и для которого вся поверхность и пространственные диагонали – целые числа. Если все поверхностные диагонали имеют целую длину, ее вызывают Эйлеровым блоком. Если пространственные диагонали – целое число, то это совершенный Эйлеров блок. Правая фигура показывает, как можно выполнить умножение чисел, используя параболу.

Woolpit 12.10.13 в 08:45

Фигура слева иллюстрирует доказательство теоремы Пифагора [59]. Правая фигура – это доказательство того, что пирамида имеет одну треть объема от основных размеров высоты.

Woolpit 12.10.13 в 09:05

Слева предмет по теореме Паппа – Гюльдена слева, и представление теоремы Морли которая гласит, что угол трисектрис произвольного треугольника встречаются в равностороннем треугольнике.

Woolpit 12.10.13 в 09:06

Фигура слева показывает фрактал названный «дерево Пифагора». Правое изображение показывает случайное блуждание в трех измерениях. В отличие от одного или двух измерений, случайные блуждания в трех измерениях не возвращаются с вероятностью 1 [60].

Woolpit 12.10.13 в 09:06

Таблицы и фрагменты кода
A) Революции. Первая таблица объединяет информационную и промышленную революции.

Woolpit 12.10.13 в 09:06

По промышленной революций см. [61] страницу 3, для второй промышленной революции [62] страница 2, для третьей см. [21] страницы 34, 23.

Woolpit 12.10.13 в 09:06

B) Изменения в комуникации, восприятии и аудитории. Эта таблица приводит примеры достижений в передаче информации в аудитории. Среднее число указывает, сколько лет назад это произошло.

Woolpit 12.10.13 в 09:07

B) Изменения в сообщении, восприятии и методах. В таблице приведены примеры открытий в способах общения и в методах. Среднее число указывает, сколько лет назад это произошло.

alex_itz 14.01.14 в 11:06

Ранние алгебраичные компьютерные системы (CAS) в 1960-х были Mathlab, Cayley, Schoonship, Reduce, Axiom и Macsyma [63]. Первый автор был представлен, как ученик Macsyma, Cayley (который позже стал Magma) и Reduce. Мы живем во время, когда начинают размываться уже три категории: сотовые телефоны с визуальными и аудио датчиками, которые возможно протереть как стекло, подсоединяются к сети. В аудитории учителя уже сегодня получают доклады студентов через сотовый телефон и могут автоматически поставить оценку. Студенты пишут на «интеллектуальной бумаге» и программное обеспечение соединяет аудио с записанным текстом. Настанет время, когда студенты смогут распечатать эксперимент по физике и работать с ним.

Woolpit 12.10.13 в 09:07

C) Исходный код для экспортировки файла STL. Следующие строки Mathematica создают объект с 13 соприкасающимися сферами.

Woolpit 12.10.13 в 09:07

D) Формат STL. Вот верхняя точка файла kissing.stl преобразованного с использованием «admesh» в читаемый для человека формат ASCII. Вводный файл имеет 104'000 строк и содержит 14'640 фасетов. «Нормальная» строка содержит вектор, указывающий ориентацию треугольного фасета.

Woolpit 12.10.13 в 09:07

E) Примеры Mathematica. Вот примеры основных «миниатюрных программ», которые могут использоваться для создания форм:

Woolpit 12.10.13 в 09:08

E1) Дополнение некоторых «узлов»:

Woolpit 12.10.13 в 09:08