Terry Pratchett, Jack Cohen, Ian Stewart - The Science of Discworld III : Darwin's Watch / Терри Пратчетт, Джек Коэн и Йен Стюарт - Наука Плоского Мира III: Часы Дарвина: ALEPH-UMPTYPLEX/ Алеф- N-плекс

Волшебники не только постигают кажущуюся нелепость "квантов", всеобъемлющую фразу всех продвинутых физиков и космологов, но и взрывоопасное философское/математическое понятие бесконечности.

Krevedko_boo 11.08.13 в 12:51

Они открыли для себя (конечно на свой манер) одно из величайших откровений математиков девятнадцатого века: существует множество бесконечностей, и некоторые их могут быть больше чем другие.

Krevedko_boo 11.08.13 в 12:57

Звучит, конечно, нелепо. Тем не менее, не смотря на это совершенно естественное чувство, это оказывается истиной.

Krevedko_boo 11.08.13 в 13:02

В отношении бесконечности следует понять две важные вещи. Вопреки тому, что бесконечность часто сравнивают с числами вроде 1,2,3, бесконечность сама по себе не является числом в традиционном смысле этого слова. Как выразился Думминг Тупс, до неё нельзя досчитать. А вторая важная вещь состоит в том, что даже в самой математике существует множество различных понятий, гордо несущих на себе ярлык "бесконечности". Если вы перепутаете их значения, то получится полная ерунда.

Krevedko_boo 11.08.13 в 13:08

А третья, извините, третья важная вещь это то, что вы должны понимать, что бесконечность зачастую является процессом, а не предмет.

Krevedko_boo 11.08.13 в 13:10

Но - четвёртая важная вещь - математики имеют привычку превращать процессы в предметы.

Krevedko_boo 11.08.13 в 13:11

И пятая (всё в порядке, их пять) важная вещь - один вид бесконечности является числом, хотя и несколько не в традиционном смысле этого слова.

Krevedko_boo 11.08.13 в 13:13

Так же как противостоят ей математики, волшебники противостоят физике. Является ли вселенная Круглого Мира конечной или бесконечной? Верно ли, что в любой бесконечной вселенной содержится не только всё то, что может произойти, но и то что должно? Может ли существовать бесконечная вселенная состоящая исключительно из стульев ..неподвижная, низменная и дико неинтересная? Мир бесконечности парадоксален, или так кажется на первый взгляд, но мы не должны позволить кажущемся парадоксам вас запугать. Если мы сохраним ясную голову, то сможем направить наш путь сквозь парадоксы и превратить бесконечность в надёжного помощника мышлению.

Krevedko_boo 11.08.13 в 13:28

Философы обычно различают два различных вида бесконечности -"актуальную" и "потенциальную". Актуальная бесконечность представляет собой нечто бесконечно большое и непроизносимое, что до недавнего времени пользовалась дурной славой. Более солидный вид бесконечности - потенциальная, которая возникает когда всякий раз даёт нам понять, что может продолжаться сколь угодно долго. Самый основной процесс такого вида это счёт: 1,2,3,4,5.. Можем ли мы дойти до "наибольшего возможного числа" и остановиться? Дети часто задают такой вопрос и сначала думают, что самое большое число которое они знают, это и есть самое большое число. Какое-то время они думают, что это шесть, потом что - сто, а потом - тысяча. Вскоре они понимают, что если вы можете досчитать до тысячи, то тысяча и один - это только первый шажок вперёд.

Krevedko_boo 12.08.13 в 05:26

В своей книге 1949 года "Математика и воображение" Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман представили миру гугл - число, которое содержит сотню нулей. Имейте ввиду, что миллиард содержит только девять нулей: 1000000000.

Krevedko_boo 12.08.13 в 05:30

А гугл настолько большой, что занимает две строки: 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Имя было придумано девятилетним племянником Каснера и стало идеей для интернет-поисковика.

Krevedko_boo 12.08.13 в 05:32

Даже при том, что гугл довольно большое число, он определённо не бесконечен. Легко написать ещё большее число:

Krevedko_boo 12.08.13 в 05:34

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

Krevedko_boo 12.08.13 в 05:34

Просто добавьте единицу. Ещё более захватывающий способ найти ещё большее число чем гугл это создать гуглплекс (имя так же любезно предоставлено племянником), которое является единицей с гуглом нулей. Даже не пытайтесь его записать: вселенная так мала, (если конечно вы не будете использовать шрифт субатомного размера), и её жизнь так коротка (не говоря уже о вашей).

Krevedko_boo 12.08.13 в 05:39

Хотя гуглплекс довольно крупные числом, он по прежнему является довольно определённым числом. В нём нет ничего странного. Он опредлённо оно не бесконечно (всегда можно добавить единицу). Однако для большинства целей оно достаточно большое, включая и большинства чисел, которые становятся астрономическими. Каснер и Ньюман заметили что "как только люди начинают говорить о крупных числах, они впадают в неистовство. И кажется находятся под впечатлением о том, что раз ноль не равен ничему, то его можно приписать к любому числу сколь угодно раз без каких-либо последствий". Эту фразу мог произнести сам Наверн Чудакулли. В качестве примера они сообщают, что в конце 40-ых годов выдающаяся научная публикация объявила, что число снежных кристаллов необходимых для того чтобы начать ледниковый период это миллиард в миллиардной степени. Это, говорят они, очень поразительно и очень глупо. Миллиард в миллиардной степени это единица с 9 миллиардами нулей. Нормальное число составляет единицу с 30 нолями, что фантастически меньше, хотя по прежнему больше чем состояние банковского счёта Билла Гейтса.

Krevedko_boo 12.08.13 в 10:37

Какой бы не была бесконечность это не обычный "счёт". Если бы самым большим числом было бы энное количество газилионов, тогда то же самое энное количество газилионов и один было бы больше. И даже если всё усложнить, так что к примеру самым большим числом было бы энное количество газилионов, два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи, семьсот пятьдесят восемь, тогда энное количество газилионов, два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи, семьсот пятьдесят девять всё равно было бы больше.

Krevedko_boo 12.08.13 в 12:36

Мы можете добавить к любому числу единицу и получить число, которое (хотя немного, но отличимо) больше.

Krevedko_boo 12.08.13 в 12:40

Процесс счёта остановиться если вы перестанете дышать, он не закончится от того, что у вас кончатся цифры. Хотя возможно кто-нибудь бессмертный может исчерпать пространство вселенной в которой будет записывать числа или время, чтобы произнесли их все.

Krevedko_boo 12.08.13 в 12:48

Если вкратце: существует бесконечное множество чисел.

Krevedko_boo 12.08.13 в 12:49

Замечательный факт в этом утверждении состоит в том, что нет числа под названием "бесконечность", которое больше чем все остальные. Совсем наоборот: дело в том, что нет самого большого числа. Так что, хоть процесс счёта в принципе может продолжаться вечно, число, до которого вы добрались на каждом определённом этапе, является конечным. "Конечный" означает, что вы можете досчитать до этого числа и остановиться.

Krevedko_boo 12.08.13 в 12:57

Как сказали бы философы: подсчёт это пример потенциальной бесконечности. Это процесс, который может длится вечно (или по крайней мере, так кажется нашим наивным умам), но никогда не достигнет "вечности".

Krevedko_boo 12.08.13 в 13:36

Развитие новых математических идей обычно происходит согласно модели. Если бы математики строили дом, они начали бы со стен нижнего этажа парящих на высоте фута над влагостойким покрытием или там где это покрытие должно быть. Там не было бы дверей и окон, а просто отверстия правильной формы. Со временем добавился бы второй этаж, качество кладки замечательно бы улучшилось, стены внутри были бы отштукатурены, все двери и окна были бы на своих местах, а пол был бы достаточно прочным, чтобы по нему можно было пройти, не провалившись. Третий этаж был бы огромным, сложным, полностью покрытым коврами, на стенах висели бы картины, в комнатах было бы огромное количество мебели впечатляющего не совместимого друг с другом дизайна, в каждой комнате было бы шесть различных видов обоев... Чердак напротив был бы скромен, но элегантен - минималистичный дизайн, ничего лишнего и всё на своих местах. Тогда и только тогда они вернуться к нижнему этажу, выкопают фундамент, зальют его бетоном, проложат водонепроницаемый слой и будут достраивать стены вниз пока не дойдут до фундамента.

Krevedko_boo 12.08.13 в 13:57

В конце вы получите дом, который не развалится. Хотя большую часть времени, потраченного на его стройку, он выглядел бы совершенно не вероятным. Но строители, в азарте возводя стены вверх и заполняя комнаты предметами интерьера, были слишком заняты чтобы это заметить пока строительные инспекторы не ткнули их носом в структурные недостатки.

Krevedko_boo 12.08.13 в 14:02

Когда возникают новые математические идеи, никто не понимает их достаточно хорошо, что в принципе нормально, поскольку они новые. И никто не делает больших усилий чтобы разобраться во всех логических деталях, пока не убедится что идея будет стоящая. Таким образом, основные направления исследований состоит в развитии этих идей, если они ведут к чему-нибудь интересному. Для математика "интересно"в основном означает "могу я найти способы протолкнуть все это дальше?", но лакмусовой бумажкой в этом случае является вопрос "какие проблемы это сможет решить?" Только после получения удовлетворительных ответов на оба эти вопроса несколько упорных и педантичных душ спускаются в подвал решают проблему достойного основания.

Krevedko_boo 12.08.13 в 14:15

Математики использовали бесконечность задолго до того как догадались что это такое и как использовать её на благо. В V в.до н.э., Архимед, выдающийся греческий математик и серьезный претендент на призовое место среди самых выдающихся учёных все времён, разработал способ нахождения объема сферы при помощи (концептуальной) нарезки её на бесконечное число бесконечно тоненьких дисков, подобно тонко-тонко нарезанному хлебу, затем взвешивая их чтобы сравнить их общий объем с объемом подходящего тела, который он уже знал. Как только он получит ответ при помощи этого удивительного метода, он вернулся к началу и нашёл логически приемлемый способ доказать свою правоту. Но без всей этой возни с бесконечностью, он не узнал бы где начать, а его логическое основание так и не сдвинулось бы с мертвой точки.

Krevedko_boo 12.08.13 в 14:25

Ко времени Леонарда Эйлера, настолько продуктивного автора, что его можно считать Терри Пратчеттом математики восемнадцатого века, многие из ведущих математиков возились с "бесконечными рядами" - кошмаром любого школьника о сумме, которая никогда не заканчивается. Вот например:

Krevedko_boo 12.08.13 в 14:54

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ..., где двоеточие означает "и так далее". Математики пришли к выводу, что эта сумма не сводится ни к чему толковому, хотя в результате должна составлять два. [1] Если вы остановитесь на каком-либо конечном этапе, то получите нечто меньшее чем два. Но сумма отставания продолжает уменьшаться. Сумма вроде как подбирается к правильному ответу, но в действительности его не достигает. Однако то количество, на которое отстаёт можно можно сократить насколько позволит ваше желание и время.

Krevedko_boo 12.08.13 в 15:01

Ничего не напоминает? Выглядит подозрительно похоже на один из парадоксов Зенона/ Ксено. О том как стрела подкрадывается к своей цели, как Ахиллес догоняет черепаху. О том, что вы можете делать бесконечно многое за конечный промежуток времени. Сделайте первое дело. Спустя одну минуту сделайте второе. Спустя ещё полминуты сделайте третье.. и так далее. Всего за две минуты вы сделаете бесконечно многое.

Krevedko_boo 12.08.13 в 15:06

Понимание того, что бесконечные суммы имеют разумное значение, это только начало. Оно не развеивает всех парадоксов. По большей части оно только их обостряет.

Krevedko_boo 12.08.13 в 15:09

_________
[1] Чтобы понять почему, удвойте результат : 2 + 1 + 1\2 + 1\4..что на два больше, чем изначальная сумма. Какое число увеличивается на два, когда вы умножаете его на два? Есть только одно такое число и это число 2.
______

Krevedko_boo 12.08.13 в 15:12

Математики выяснили, что некоторые бесконечности безопасны, а другие нет.

Krevedko_boo 12.08.13 в 15:27

Единственный вопрос, который возникает после такой блестящей догадки это : как вы узнали? Ответ в том, что если ваше понятие бесконечности не приводит к логическим противоречиям, тогда бесконечность безопасна, а если приводит - то нет. Ваша задача это дать разумный ответ на то, какая "бесконечность" вас интересует. Вы не можете предположить что она автоматически имеет смысл.

Krevedko_boo 12.08.13 в 16:08

Не смотря на то, что на протяжении восемнадцатого и начала девятнадцатого века математики разработали очень много понятий "бесконечности", все они являются потенциальными. В проективной геометрии "бесконечно удалённая точка" это место где пересекаются две параллельные прямые, подобно тому как рельсы железной дороги сходятся на горизонте, и кажется что на горизонте они пересекаются. Но если по равнине едет поезд, горизонт бесконечно удаляется, и вообще не является частью равнины, а только оптическая иллюзия. Так что точка в бесконечности определятся бесконечным процессом движения по железнодорожным путям. Поезд никогда туда не приедет. В алгебраической геометрии круг заканчивается тем, что можно определить как "коническое сечение, которое проходит через две мнимых бесконечно удалённых точки", которое легко можно воссоздать с помощью пары циркулей.

Krevedko_boo 12.08.13 в 16:27

Математики достигли общего консенсуса и он сводится к следующему. Всякий раз, когда вы используете термин "бесконечность", вы действительно подразумеваете процесс. Если этот процесс порождает четко определённый результат, но в связи со сложными интерпретациями, результат имеет значение, для которого в данном контексте вы используете слово "бесконечность"

Krevedko_boo 12.08.13 в 16:33

Бесконечность это процесс зависящий от контекста. Она потенциальна.

Krevedko_boo 12.08.13 в 16:36

И не может оставаться такой и дальше.

Krevedko_boo 12.08.13 в 16:37

В конце девятнадцатого века Дэвид Гилберт был один из двух величайших математиков мира и был одним из величайших энтузиастов нового подхода к бесконечности, в котором, вопреки тому, что мы вам сейчас сказали, бесконечность рассматривается как предмет, а не процесс. Новый подход был детищем Георга Кантора, немецкого математика, чьи работы привели его на территорию чреватыми логическими ловушками. На протяжении века целая область оставалась запутанной. В конце концов он решил разобраться раз и навсегда решив сперва построить фундамент. Он был не единственным, кто делал это, но был одним из самых радикальных. Ему удалось разобраться в области, которая привела его к таким отрезкам времени, но только за счёт возникновения проблем в другом месте.

Krevedko_boo 13.08.13 в 09:52

Многие математики ненавидели идеи кантора, но Гилберту они нравились, и он активно их защищал. "Никто", - заявлял он - "не сможет изгнать вас их рая, который создал Кантор". Это конечно же было настолько парадоксально как и сам рай. Гилберт объяснял некоторые их парадоксальных свойств бесконечности в терминах вымышленного отеля, теперь известного как отель Гилберта.

Krevedko_boo 13.08.13 в 10:08

В отеле Гилберта находится бесконечное число номеров. Все они пронумерованы: 1,2,3,4 и так до бесконечности. Это пример фактической бесконечности - каждый номер существует сейчас и номер под номером энный газилион и один ещё не построен. И вот когда один воскресным утром вы туда приезжаете, то выясняется что все номера заняты.

Krevedko_boo 13.08.13 в 10:13

В имеющем предел отеле, даже с несколькими газилионами номеров у вас всё равно проблемы. И никакое количество снующих вокруг людей не сможет создать ещё один номер. (Что бы ничего не усложнять, представьте что каждый номер занимает один человек, и нормы техники безопасности и охраны здоровья запрещает поселение более одного человека).

Krevedko_boo 13.08.13 в 10:20

Однако в отеле Гилберта всегда найдётся место для его одного гостя. Не в номере под номером "бесконечность", потому что нет такого номера. А в номере под номером один.

Krevedko_boo 13.08.13 в 10:22

А как же тот бедняга из первого номера? Он переселяется во второй номер. Человек из второго номера переселяется в третий. Человек их номера под номером энный газилион переселяется в номер энный газилион один. Человек из энн газилионов первого номера переселяется в энн газилионов второй. Человек из номера N переселяется в номер n+1, для любого числа n.

Krevedko_boo 13.08.13 в 10:26

В ограниченном отелем с несколькими газилионами номеров такая процедура сталкивается с проблемой. В нём нет номера под номером энн гизилион два, в который можно кого-нибудь поселить. В отеле Гилберта номерам нет конца и каждый может переселиться в следующий номер. Когда все перемещения будут выполнены, отель заполниться снова.

Krevedko_boo 13.08.13 в 10:46

И это далеко не все. В понедельник в полный отель Гилберта приезжает команда из 50 человек. Но это не проблема - управляющий просто переселяет каждого постояльца на 50 номеров дальше - из первого в пятьдесят первый и так далее- что освобождает первые 50 комнат для новоприбывшей группы.

Evgenii_rus 13.08.13 в 10:44

Во вторник прибывает бесконечное число групп, с бесконечным числом людей (слава богу, хоть пронумерованным заранее). Думаете, теперь свободных комнат не окажется? А они есть. Уже заселенные постояльцы переезжают комнату под номером, который в 2 раза больше их предыдущего. Ну то есть из первой во вторую, из третьей в шестую и так далее. Теперь свободны все нечетные номера, и новый постоялец под номером А1 идет в номер "1", постоялец под номером А2 - в номер "3", А3 в номер "5". Нет ничего проще.

Evgenii_rus 13.08.13 в 10:56

А вот в среду управляющий буквально рвал на себе волосы, потому что бесконечное множество компаний прислало бесконечное множество групп. Сами группы обозначены буквами А, Б, В, Г... бесконечной длины алфавита, и люди в них, соответственно, имеют номера А1, А2, А3... Б1, Б2, Б3... В1, В2 и В3...

Evgenii_rus 13.08.13 в 11:01

...и так далее. Но у управляющего появилась прямо-таки блестящая идея. В бесконечно большом углу бесконечно большой стоянки отеля он расставил всех новых постояльцев квадратом:
А1_А2_А3_А4_А5...

Evgenii_rus 13.08.13 в 11:04

B1 B2 B3 B4 B5 ...

Krevedko_boo 13.08.13 в 11:05

C1 C2 C3 C4 C5 ...

Krevedko_boo 13.08.13 в 11:05

D1 D2 D3 D4 D5 ...

Krevedko_boo 13.08.13 в 11:05