Роджер Пенроуз "Новый ум короля"

Оглавление

Сбросить всё

←

→

Английский оригинал	Перевод на русский
Сожалеем, но текст оригинала доступен только зарегистрированным пользователям.	Роджер Пенроуз "Новый ум короля" Irina73 28.03.13 в 09:51 0
	■ Сэр Роджер Пенроз член семьи огромного таланта, изобилующего учеными мирового класса, математиками и гроссмейстерами. Irina73 19.04.13 в 07:33 0
	Он сам, вероятно, является самым выдающимся из них, один из самых известных физиков-математиков в мире. Irina73 19.04.13 в 07:35 0
	Его книга "Новый ум короля" предлагает спорную, чтобы не сказать эксцентричную теорию сознания (возможно эксцентричность связана с трудностями преодоления проблемы сознания), но этому предшествует интенсивный курс физики, переданный в оригинальном и вдумчивом стиле Пенроза. Irina73 19.04.13 в 07:38 0
	Отрывок, который представляет одну из этих менее спорных, но все еще стимулирующих глав, заканчивается Теоремой Геделя, которая является предметом следующего произведения Дугласа Хофштадтера. ■ Irina73 19.04.13 в 07:42 0
	Вопрос о математической истине возник не сегодня, он уходит корнями в античность, к греческим философам и математикам — и, несомненно, еще дальше, в глубь веков. Irina73 28.03.13 в 08:58 0
	Однако, несколько великих открытий и поразительных прозрений здесь были сделаны не далее как в XX столетии. Irina73 28.03.13 в 09:00 0
	Эти новые достижения заслуживают того, чтобы постараться их понять. Irina73 28.03.13 в 09:00 0
	Они носят фундаментальный характер и непосредственно касаются вопроса о том, являются ли наши мыслительные процессы полностью алгоритмизированными по своей природе или нет. Irina73 28.03.13 в 09:00 0
	Четко разобраться в этом — задача, имеющая для нас весьма важное значение. Irina73 28.03.13 в 09:00 0
	В последней части XIX века математика шагнула далеко вперед в результате развития все более и более мощных методов математического доказательства. Irina73 28.03.13 в 09:01 0
	(Давид Гильберт и Георг Кантор, с которыми мы познакомились ранее, и великий французский математик Анри Пуанкаре, с которым нам еще предстоит встретиться, шли во главе этих разработок.) Irina73 28.03.13 в 09:01 0
	Как следствие, математики стали обретать уверенность в том, что применение этих методов приведет к успеху. Irina73 28.03.13 в 09:01 0
	Многие из таких методов основаны на рассмотрении множеств (1) с бесконечным числом членов, и доказательства часто оказывались осуществимы благодаря именно тому, что такое множество можно было рассматривать как реальный «объект» — завершенное единое целое, существующее не только в абстракции. Irina73 28.03.13 в 09:01 0
	Многие из этих идей родились из в высшей степени оригинальной концепции Кантора о бесконечных числах, которую он развил, последовательно используя бесконечные множества. Irina73 28.03.13 в 09:01 0
	Однако эта уверенность пошатнулась, когда в 1902 году английский логик и философ Бертран Рассел придумал свой знаменитый парадокс (который предвидел и сам Кантор и который выводился непосредственно из его диагонального процесса). Irina73 28.03.13 в 09:03 0
	Чтобы понять доводы Рассела, мы сначала должны хотя бы немного почувствовать, как можно представить множество в виде единого целого. Irina73 28.03.13 в 09:03 0
	Давайте представим себе множество, характеризуемое некоторым (общим) свойством. Irina73 28.03.13 в 09:03 0
	Например, набор красных предметов может быть охарактеризован словом «краснота» как его определяющим свойством: нечто принадлежит этому множеству тогда и только тогда, когда это обладает «краснотой» (имеет красный цвет). Irina73 28.03.13 в 09:04 0
	Это позволит нам «перевернуть» точку зрения и трактовать свойство как единичный объект, который будет состоять из всего множества вещей, обладающих данным свойством. Irina73 28.03.13 в 09:04 0
	При таком рассмотрении «краснота» эквивалентна множеству всех красных предметов. Irina73 28.03.13 в 09:04 0
	(При этом мы можем предполагать существование «там вовне» и других множеств, члены которых не могут быть охарактеризованы подобным простым свойством.) Irina73 28.03.13 в 09:04 0
	Идея формулировки понятий в терминах множеств послужила основой для процедуры, предложенной в 1884 году влиятельным немецким логиком Готтлибом Фреге, которая позволяла определять числа через множества. Irina73 28.03.13 в 09:05 0
	К примеру, что мы понимаем под числом 3? Мы знаем, в чем заключается «тройственность», но что есть число 3 само по себе? Очевидно, что «тройственность» есть свойство наборов объектов, т. е. свойство множеств: некоторое множество обладает данным свойством тогда и только тогда, когда это множество состоит из трех членов. Irina73 28.03.13 в 09:05 0
	Этим свойством характеризуется, скажем, тройка призеров-медалистов некоторой Олимпиады. Irina73 28.03.13 в 09:05 0
	Равно как и набор шин к трехколесному велосипеду, или листья на одном стебельке обычного клевера, или множество всех решений уравнения х3 - 6х2 + 11х - 6 = 0. Irina73 28.03.13 в 09:06 0
	Как же можно тогда определить по Фреге само число 3? Согласно Фреге, 3 — это множество множеств, а именно, всех множеств, имеющих свойство «тройственности». Irina73 28.03.13 в 09:06 0
	Таким образом, множество содержит три члена тогда и только тогда, когда оно принадлежит множеству 3 по Фреге. Irina73 28.03.13 в 09:06 0
	Может показаться, что мы попадаем в замкнутый круг, но в действительности это совсем не так. Irina73 28.03.13 в 09:07 0
	Мы можем определить числа в общем случае как совокупности всевозможных эквивалентных множеств, где говоря «эквивалентные», мы понимаем «состоящие из элементов, которые могут быть попарно сопоставлены друг другу» (или, в более привычной терминологии, «имеющих одинаковое число элементов»). Irina73 28.03.13 в 09:07 0
	Тогда число 3 будет одной из этих совокупностей множеств, которая содержит в себе в качестве члена множество, состоящее, скажем, из яблока, апельсина и груши. Irina73 28.03.13 в 09:07 0
	Существуют также и другие определения, причем более популярные в наши дни. Irina73 28.03.13 в 09:08 0
	Вернемся теперь к парадоксу Рассела. В чем он заключается? В нем рассматривается множество R, определенное следующим образом: Irina73 28.03.13 в 09:09 0
	R есть множество множеств, которые не являются членами самих себя. Irina73 28.03.13 в 09:09 0
	Таким образом, R есть набор множеств X, отвечающих следующему условию: среди членов множества X не должно быть самого X. Irina73 28.03.13 в 09:10 0
	Не является ли абсурдным предполагать, что множество в действительности может быть членом самого себя? Ничуть. Irina73 28.03.13 в 09:10 0
	Рассмотрим, к примеру, множество I, состоящее из бесконечных множеств (множеств с бесконечным числом членов). Irina73 28.03.13 в 09:11 0
	С очевидностью, существует бесконечное число различных бесконечных множеств, и само множество, таким образом, является бесконечным. Irina73 28.03.13 в 09:11 0
	И, таким образом, оно, действительно, принадлежит самому себе! Но как же, в таком случае, рассуждения Рассела дают нам парадоксальное утверждение? Давайте спросим: является ли множество Рассела членом самого себя или нет? Если нет, то оно должно принадлежать себе, ибо R состоит как раз из таких множеств, которые не являются членами самих себя. Irina73 28.03.13 в 09:12 0
	То есть, в конечном счете, R принадлежит R — противоречие! Irina73 28.03.13 в 09:12 0
	С другой стороны, если R есть член самого себя, то, поскольку «самое себя» — это R, оно в то же время принадлежит множеству, члены которого, по определению, не могут быть составляющими самих себя, т. е. все-таки не принадлежит самому себе — и вновь противоречие! (2) Irina73 28.03.13 в 09:13 0
	Этот парадоксальный вывод не был праздной игрой ума. Irina73 28.03.13 в 09:14 0
	Рассел использовал — хотя и в крайней форме — тот же тип весьма общих теоретико-множественных методов, которые математики начинали использовать в то время для своих доказательств. Irina73 28.03.13 в 09:15 0
	Становилось очевидным, что казавшаяся незыблемой почва ускользает из-под ног, и поэтому необходимо было как можно точнее определить, какие рассуждения считать допустимыми. Irina73 28.03.13 в 09:15 0
	Ясно было, что такие рассуждения должны быть свободны от внутренних противоречий, и что утверждения, которые будут выводиться с их помощью как следствия из априори верных посылок, должны быть также верными. Irina73 28.03.13 в 09:15 0
	Рассел, совместно со своим коллегой Альфредом Нортом Уайтхедом, взялся за развитие такой полностью формализованной системы аксиом и правил вывода, на язык которой стало бы возможным перевести все виды корректных математических рассуждений. Irina73 28.03.13 в 09:15 0
	Все правила подвергались тщательному отбору, дабы избежать «ложных» путей рассуждений, могущих привести к парадоксам, подобным упомянутому выше. Irina73 28.03.13 в 09:16 0
	Однако схема, появившаяся на свет в результате этих усилий, была очень громоздка и оказалась весьма ограниченной по диапазону различных типов математических рассуждений, которые она охватывала. Irina73 28.03.13 в 09:16 0
	Великий математик Давид Гильберт (которого мы впервые встретили в главе 2) задался целью создать более практичную и универсальную систему. Irina73 28.03.13 в 09:17 0
	В нее должны были войти все типы математических рассуждений из всех областей математики. Irina73 28.03.13 в 09:17 0

Следующая страница →